Question

2．如圖，△ABC為邊長是4$\sqrt{3}$的等邊三角形，四邊形DEFG是邊長是6的正方形．現(xiàn)將等邊△ABC和正方形DEFG按如圖①的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C、E、F在同一條直線上，△ABC從圖①的位置出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿EF方向向右勻速運動，當(dāng)點B與點E重合時停止運動，設(shè)△ABC的運動時間為t秒．
（1）當(dāng)點A與點D重合時，求此時t的值；
（2）在整個運動過程中，設(shè)等邊△ABC和正方形DEFG重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖②，當(dāng)點A與點D重合時，作∠ABE的角平分線BM交AE于點M，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使邊AB與邊AC重合，得到△ACN．在線段AG上是否存在H點，使得△ANH為等腰三角形？若存在，求線段AH的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出△ABC三邊的高為4$\sqrt{3}$sin60°=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，當(dāng)點A與點D重合時，沿EF方向向右運動了2$\sqrt{3}$，即可得出結(jié)果；
（2）分兩種情況利用三角形的面積公式可以表示出0≤t＜2$\sqrt{3}$時重疊部分的面積，當(dāng)2$\sqrt{3}$≤t≤6時用S_△ABC-$\frac{（4\sqrt{3}-t）（4\sqrt{3}-t）\sqrt{3}}{2}$就可以求出重疊部分的面積．
（3）當(dāng)點A與點D重合時，BE=CE=2$\sqrt{3}$，再由條件可以求出AN的值，分三種情況討論求出AH的值，①AN=AH=4時，②AN=NH=4時，此時H點在線段AG的延長線上，③AH=NH時，此時H點為線段AG的中垂線與AG的交點，從而可以求出答案．

解答 解：（1）∵△ABC為邊長是4$\sqrt{3}$的等邊三角形，
∴△ABC三邊的高為4$\sqrt{3}$sin60°=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
∵四邊形DEFG是邊長是6的正方形，
∴△ABC從圖①的位置出發(fā)，沿EF方向向右運動時，點A與點D能重合，
當(dāng)點A與點D重合時，沿EF方向向右運動了$\frac{4\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∵以每秒1個單位長度的速度沿EF方向向右勻速運動，
∴t=$\frac{2\sqrt{3}}{1}$=2$\sqrt{3}$（秒）；
（2）分兩種情況：
①當(dāng)0≤t＜2$\sqrt{3}$時，S=$\frac{1}{2}$t•t•tan60°=$\frac{1}{2}$t²×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²，
②當(dāng)2$\sqrt{3}$≤t≤6時，S=S_△ABC-$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{3}$-t）（4$\sqrt{3}$-t）tan60°=$\frac{1}{2}$×6×4$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（48-8$\sqrt{3}$t+t²）$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+12t-12$\sqrt{3}$；
（3）當(dāng)點A與點D重合時，BE=CE=2$\sqrt{3}$
∵BM平分∠ABE，
∴∠MBE=$\frac{1}{2}$∠ABE=30°，
∴ME=BEtan30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2，
∵∠ABM=∠BAM，
∴AM=BM=4，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=30°，AN=4，
△ANH為等腰三角形分三種情況討論：
①AN=AH=4時，
∵AG=6，
∴△ANH為等腰三角形成立；
②AN=NH=4時，
∵∠CAE=30°、∠CAN=30°，
∴∠NAG=30°，
∴AH=2ANcot30°=2×4×$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$＞6，
∴H點在線段AG的延長線上，
∴不合題意舍去；
③AH=NH時，則H點為線段AN的中垂線與AG的交點，如圖所示：
∴AK=$\frac{1}{2}$AN=2，AH=$\frac{AK}{cos∠HAK}$=$\frac{2}{cos30°}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定、三角函數(shù)等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形和正方形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．