Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（0，1），過點(diǎn)A₁作直線y=x的垂線，垂足為點(diǎn)B₁，以A₁B₁為邊作菱形A₁B₂C₂A₃，使得點(diǎn)A2落在y軸上，延長(zhǎng)A₂C₁交直線于點(diǎn)B₂，再以A₂B₂為邊作菱形A₂B₂C₂A₃，使得點(diǎn)A₃落在y軸上…按此作法繼續(xù)作菱形，則點(diǎn)A₂₀₁₇的坐標(biāo)是[0，（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹⁶]．

Answer 1

分析 求出A₁～A₄的坐標(biāo)，探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問題即可．

解答 解：∵點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（0，1），
∴OA₁=1，
在Rt△A₁B₁O中，A₁B₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A₂[0，（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
同法可得A₂B₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴OA₃=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
∴A₃[0，（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²]，
同法可得OA₄=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³，
∴A₄[0，（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³]，
…，
A₂₀₁₇[0，（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹⁶]．
故答案為[0，（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹⁶]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形的性質(zhì)、規(guī)律型-點(diǎn)的坐標(biāo)．等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從特殊到一般的探究方法，屬于中考�？碱}型．