Question

1．如圖1，菱形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC=60°，翻折∠B，∠D，使點(diǎn)B，D兩點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，EF，GH分別是折痕（如圖2）．設(shè)AE=x（0＜x＜2），給出下列判斷：
①當(dāng)x=1時(shí)，點(diǎn)P是菱形ABCD的中心；
②當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，EF+GH＞AC；
③當(dāng)0＜x＜2時(shí)，六邊形AEFCHG面積的最大值是$\frac{11\sqrt{3}}{4}$；
④當(dāng)0＜x＜2時(shí)，六邊形AEFCHG周長(zhǎng)的值不變．
其中正確結(jié)論是①④．（填序號(hào)）

Answer 1

分析 先確定出△ABC是等邊三角形，進(jìn)而判斷出△BEF是等邊三角形，當(dāng)x=1時(shí)，求出BP=$\frac{1}{2}$BD，即可判斷出①正確，再用x表示出EF，BP，DP，GH，然后取x賦予的值，即可求出EF，GH，判斷出②錯(cuò)誤，利用菱形的面積減去兩個(gè)三角形的面積判斷出③錯(cuò)誤，利用周長(zhǎng)的計(jì)算方法即可判定出④正確．

解答 解：∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，
∴AB=BC=2，
∵∠ABC=60°，
∴AC=AB=2，BD=2$\sqrt{3}$，
由折疊知，△BEF是等邊三角形，
當(dāng)x=1時(shí)，則AE=1，
∴BE=AB-AE=1，
由折疊知，BP=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$BD，
∴點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，
即：點(diǎn)P是菱形ABCD的中心，所以①正確，
如圖，

∵AE=x，
∴BE=AB-AE=2-x，
∵△BEF是等邊三角形，
∴EF=BE=2-x，
∴BM=$\sqrt{3}$EM=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-x），
∴BP=2BM=$\sqrt{3}$（2-x），
∴DP=BD-BP=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$（2-x）=$\sqrt{3}$x，
∴DN=$\frac{1}{2}$DP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴GH=2GN=2×$\frac{1}{2}$x=x，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，AE=$\frac{1}{2}$，
∴BE=AB-AE=$\frac{3}{2}$，
∵△BEF是等邊三角形，
∴EF=BE=$\frac{3}{2}$，BP=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴DP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴GH=DG=$\frac{1}{2}$，
∴EF+GH=2=AC，所以②錯(cuò)誤；

當(dāng)0＜x＜2時(shí)，
∵AE=x，
∴BE=2-x，
∴EF=2-x，
∴BP=$\sqrt{3}$（2-x），
∴DP=$\sqrt{3}$x，
∴GH=2×$\frac{x}{2}$=x=DG=DH，
∴六邊形AEFCHG面積=S_菱形ABCD-S_△BEEF-S_△DGH
=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2-x）²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²
=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-1）²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-1）²+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴當(dāng)x=1時(shí)，六邊形AEFCHG面積最大為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，所以③錯(cuò)誤，
六邊形AEFCHG周長(zhǎng)=AE+EF+FC+CH+HG+AG
=x+2-x+x+2-x+x+2-x=6是定值，
所以④正確，即：正確的有①④，
故答案為①④．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形的綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，菱形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是用x表示出相關(guān)的線段，是一道基礎(chǔ)題目．