Question

12．如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于C，D兩點(diǎn)，與x，y軸交于B，A兩點(diǎn)，且tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，OB=4，OE=2．
（1）求一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△OCD的面積；
（3）根據(jù)圖象直接寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值時(shí)，自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件求出A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AB和反比例函數(shù)的解析式；
（2）聯(lián)立一次函數(shù)的解析式和反比例的函數(shù)解析式可得交點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而根據(jù)三角形面積公式求解；
（3）根據(jù)函數(shù)的圖象和交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解．

解答 解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=2+4=6．
∵CE⊥x軸于點(diǎn)E，tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴OA=2，CE=3．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2）、點(diǎn)B的坐標(biāo)為C（4，0）、點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，3）．
∵一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x，y軸交于B，A兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
故直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2．
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象過C，
∴3=$\frac{k}{-2}$，
∴k=-6．
∴該反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{6}{x}$；

（2）聯(lián)立反比例函數(shù)的解析式和直線AB的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
可得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，-1），
則△BOD的面積=4×1÷2=2，
△BOC的面積=4×3÷2=6，
故△OCD的面積為2+6=8；

（3）由圖象得，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值時(shí)x的取值范圍：x＜-2或0＜x＜6．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．