Question

12．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC，交AC于F．
（I）求證：AE=CF．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，如圖②，作GM⊥BC于點M，若GM=GF，連接EM，F(xiàn)M．判斷四邊形GEMF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）過作E作EH∥AC交CD于H，推出四邊形EHCF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的想折疊的EH=CF，∠C=∠EHB，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAD=∠C，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AG=GM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到EG=AG=GF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AGB=∠MGB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEG=∠EGM，推出△AEG是等邊三角形，得到∠EAC=∠AGE=60°，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：過作E作EH∥AC交CD于H，
∵EF∥BC，
∴四邊形EHCF是平行四邊形，
∴EH=CF，∠C=∠EHB，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC于D，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴∠BAD=∠BHE，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABE=∠HBE，
在△ABE與△HBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠HBE}\\{BE=BE}\\{∠BAE=∠BHE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△HBE，
∴AE=EH，
∴AE=CF；
（2）解：四邊形GEMF是菱形，
理由：∵BG平分∠ABC，∠BAC=90°，GM⊥BC，
∴AG=GM，
∵GM=GF，
∴AG=GF，
∵EF∥BC，AD⊥BC，
∴EF⊥AD，
∴∠AEF=90°，
∴EG=AG=GF，
在Rt△ABG與Rt△BMG中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=GM}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△BMG，
∴∠AGB=∠MGB，
∵AD∥GM，
∴∠AEG=∠EGM，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG，
∴△AEG是等邊三角形，
∴∠EAC=∠AGE=60°，
∴∠BGC=120°，∠C=30°，
∴∠GBC=∠ABE=∠BAE=30°，
∴AE=BE，
∴BE=EG，
∵EF∥BC，
∴GF=CF，
∴EM=EG，MF=GF，
∴EM=EG=MF=GF，
∴四邊形GEMF是菱形．

點評 本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．