Question

16．如圖，一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象交于A（1，4），B（3，m）兩點，
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）先把A點坐標代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$中計算出k₂=4，從而得到反比例函數(shù)為y=$\frac{4}{x}$，再利用反比例函數(shù)解析式確定B（3，$\frac{4}{3}$），然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）設直線y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$與x軸交于點C，如圖，先確定C點坐標，然后根據(jù)三角形面積公式，利用S_△AOB=S_△ACO-S_△BOC進行計算即可．

解答 解：（1）∵點A（1，4）在y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象上，
∴k₂=1×4=4，
∴反比例函數(shù)為y=$\frac{4}{x}$，
又∵B（3，m）在y=$\frac{4}{x}$的圖象上，
∴3m=4，解得m=$\frac{4}{3}$，
∴B（3，$\frac{4}{3}$），
∵A（1，4）和B（3，$\frac{4}{3}$）都在直線y=k₁x+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}+b=4}\\{3{k}_{1}+b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$；
（2）設直線y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$與x軸交于點C，如圖，
當y=0時，-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$=0，解得x=4，則C（4，0），
∴S_△AOB=S_△ACO-S_△BOC
=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4}{3}$
=$\frac{16}{3}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了三角形面積公式和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．