Question

4．如圖，在正方形ABCD中，P為AB的中點(diǎn)，BE⊥PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，F(xiàn)A⊥AE交DP于點(diǎn)F，連接BF、FC．若AE=4，則FC=4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，再求出∠BAE=∠DAF，∠ABE=∠ADF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=AF，從而判斷出△AEF是等腰直角三角形，根據(jù)AE的長(zhǎng)度求出EF，過點(diǎn)A作AH⊥EF于H，連接BH，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AH=EH=FH，利用“角邊角”證明△APH和△BPE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=AH，然后求出△BEH是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠EHB=45°，然后求出∠AHB=∠FHB，再利用“邊角邊”證明△ABH和△FBH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=BF，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等求出BE=DF，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等求出∠BAH=∠BFE，然后求出∠BFE=∠ADF，根據(jù)等角的余角相等求出∠EBF=∠FDC，再利用“邊角邊”證明△BEF和△DFC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得FC=EF．

解答 解：連接FC，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∵FA⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BPE=∠ADF+∠APD=90°，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAF}\\{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF，BE=DF，
∵FA⊥AE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$AE=4$\sqrt{2}$，
過點(diǎn)A作AH⊥EF于H，連接BH，
則AH=EH=FH，
∵P為AB的中點(diǎn)，
∴AP=BP，
在△APH和△BPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APH=∠BPE}\\{∠AHP=∠BEP=90°}\\{AP=BP}\end{array}\right.$，
∴△APH≌△BPE（AAS），
∴BE=AH，
∴BE=EH，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴∠EHB=45°，
∴∠AHB=∠FHB=135°，
在△ABH和△FBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=FH}\\{∠AHB=∠FHB}\\{BH=BH}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△FBH（SAS），
∴AB=BF，∠BAH=∠BFH，
∵AB=CD，
∴BF=CD，
∵∠BFH=∠BAH=∠PBE=∠ADF，
∴∠EBF=∠DAH=∠FDC，
在△BEF和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=DF}\\{∠EBF=∠FDC}\\{BF=CD}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△DFC（SAS），
∴FC=EF=4$\sqrt{2}$．
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形與等腰直角三角形并多次證明三角形全等．