Question

13．如圖，一次函數(shù)y=-x+4的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B（3，b）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）將A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)即可求出a的值，從而求出A的坐標(biāo)，將A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可求出k的值．
（2）作出B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求出直線AD的解析式，令y=0即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）由圖形可知S_△PAB=S_△ABD-S_△PBD，從而求出△ABD與△PBD的面積即可．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（1，a）代入一次函數(shù)y=-x+4，
得a=-1+4，
解得a=3，
∴A（1，3），
點(diǎn)A（1，3）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，
得k=3，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=$\frac{3}{x}$，
（2）把B（3，b）代入上式子得，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（3，1）；
作點(diǎn)B作關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)C，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，
∴D（3，-1），
設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n，
把A，D兩點(diǎn)代入得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{3m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得m=-2，n=5，
∴直線AD的解析式為y=-2x+5
令y=0，得x=$\frac{5}{2}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（$\frac{5}{2}$，0），
（3）S_△PAB=S△_ABD-S_△PBD=$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{2}$=2-$\frac{1}{2}$=1.5．

點(diǎn)評 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，本題屬于中等題型．