Question

12．如圖，正方形ABCD中，點F是BC邊上一點，連結(jié)AF，以AF為對角線作正方形AEFG，邊FG與正方形ABCD的對角線AC相交于點H，連結(jié)DG．
（1）填空：若∠BAF=18°，則∠DAG=27°；
（2）若當(dāng)點F在線段BC上運動時（不與B、C兩點重合），設(shè)FC=x，DG=y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若$\frac{BF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，請求出$\frac{FC}{FH}$的值．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD，AEFG是正方形，得到∠BAC=∠GAF=45°，于是得到∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠GAC=45°，推出∠HAG=∠BAF=18°，由于∠DAG+∠GAH=∠DAC=45°，于是得到結(jié)論；
（2）由四邊形ABCD，AEFG是正方形，推出$\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AG}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到$\frac{AD}{AC}=\frac{AG}{AF}$，由于∠DAG=∠CAF，得到△ADG∽△CAF，列比例式即可得到結(jié)果；
（3）設(shè)BF=k，CF=2k，則AB=BC=3k，根據(jù)勾股定理得到AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（3k）^{2}+{k}^{2}}$=$\sqrt{10}$k，AC=$\sqrt{2}$AB=3$\sqrt{2}$k，由于∠AFH=∠ACF，∠FAH=∠CAF，于是得到△AFH∽△ACF，得到比例式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠BAC=∠GAF=45°，
∴∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠GAC=45°，
∴∠HAG=∠BAF=18°，
∵∠DAG+∠GAH=∠DAC=45°，
∴∠DAG=45°-18°=27°，
故答案為：27．

（2）∵四邊形ABCD，AEFG是正方形，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AG}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AG}{AF}$，
∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC=45°，
∴∠DAG=∠CAF，
∴△ADG∽△CAF，
∴$\frac{DG}{CF}=\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即：$\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴y=$\frac{\sqrt{2}x}{2}$；

（3）∵$\frac{BF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)BF=k，CF=2k，則AB=BC=3k，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（3k）^{2}+{k}^{2}}$=$\sqrt{10}$k，AC=$\sqrt{2}$AB=3$\sqrt{2}$k，
∵四邊形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠AFH=∠ACF，∠FAH=∠CAF，
∴△AFH∽△ACF，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{FH}{CF}$，
即：$\frac{\sqrt{10}k}{3\sqrt{2}k}=\frac{FH}{2K}$，
∴FH=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$k，
∴$\frac{CF}{FH}$=$\frac{2k}{\frac{2\sqrt{5}k}{3}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，找準(zhǔn)相似三角形是解題的關(guān)鍵．