Question

4．如圖，C是以AB為直徑的⊙O上一點，過O作OE⊥AC于點E，過點A作⊙O的切線交OE的延長線于點F，連接CF并延長交BA的延長線于點P．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若AB=4，AP：PC=1：2，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，證明△AOF≌△COF，得到∠OCF=∠OAF=90°，根據(jù)切線的判定定理證明PC是⊙O的切線；
（2）根據(jù)切線長定理求出PC的長，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到PF與FC之比，計算得到答案．

解答 （1）證明：連接OC，
∵AB為⊙O的直徑，∠ACB=90°，又OE⊥AC，
∴BC∥OF，
∴∠AOF=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠AOF=∠COF，
在△AOF和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOF=∠COF}\\{OF=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COF，
∴∠OCF=∠OAF=90°，
∴PC是⊙O的切線；
（2）設(shè)AP=x，則PC=2x，
由切割線定理得，PC²=PA•PB，
即4x²=x（x+4），
解得x=$\frac{4}{3}$，
∵BC∥OF，∴$\frac{PF}{FC}$=$\frac{PO}{OB}$，
解得，F(xiàn)C=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．