Question

7．已知邊長為4的正方形截取一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1．若在AB上有一點P使矩形MPND的面積最大，請你求出此時矩形MPND的邊長DN、PN．

Answer 1

分析 設(shè)DN=x，NP=y，則矩形PNDM的面積為S=xy，再結(jié)合已知找出y與x的關(guān)系，代入后便可求解．

解答 解：設(shè)矩形PNDM的邊DN=x，NP=y，則矩形PNDM的面積S=xy（2≤x≤4），過點B作BH⊥PN于點H，
∵正方形ABCD的邊長為4，
∴CN=4-x，EM=4-y．
∵EF∥BH，
∴∠BAF=∠PBH，∠F=∠BHP=90°，
∴△ABF∽△BPH，
∴$\frac{PH}{BH}$=$\frac{BF}{AF}$，
∴$\frac{NP-BC}{CN}$=$\frac{BF}{AF}$，即$\frac{y-3}{4-x}$=$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+5，
S=xy=-$\frac{1}{2}$x²+5x（2≤x≤4），
∵此二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為x=5，
∴當(dāng)x≤5時，函數(shù)值是隨x的增大而增大．
對2≤x≤4來說，當(dāng)x=4，即PM=4時，S有最大值，
∴S_最大=-$\frac{1}{2}$×4²+5×4=12．
∴DN=4，PN=3．

點評 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵在于在AB上找一點P，轉(zhuǎn)變?yōu)榍驪M、PN的長．