Question

15．觀察下列勾股數(shù)：
①3、4、5，且3²=4+5；
②5、12、13，且5²=12+13；
③7、24、25，且7²=24+25；
④9，b，c，且9²=b+c；
…
（1）請(qǐng)你根據(jù)上述規(guī)律，并結(jié)合相關(guān)知識(shí)求：b=40，c=41．
（2）猜想第n組勾股數(shù)，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得：c²-b²=9²，進(jìn)而可得（c-b）（c+b）=81，然后由b+c=81，可求c-b=1，從而可求：b=40，c=41；
（2）認(rèn)真觀察三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系：首先發(fā)現(xiàn)每一組的三個(gè)數(shù)為勾股數(shù)，第一個(gè)數(shù)為從3開始連續(xù)的奇數(shù)，第二、三個(gè)數(shù)為連續(xù)的自然數(shù)；進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)第一個(gè)數(shù)的平方是第二、三個(gè)數(shù)的和；最后得出第n組數(shù)為2n+1，2n²+2n，2n²+2n+1，由此規(guī)律解決問題．

解答 解：（1）∵由勾股定理得：c²-b²=9²，
∴（c-b）（c+b）=81，
∵b+c=81，
∴c-b=1，
解得：b=40，c=41．
故答案為：40；41；
（2）猜想第n組勾股數(shù)為：2n+1，2n²+2n，2n²+2n+1，
∵（2n+1）²+（2n²+2n）²=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，
（2n²+2n+1）²=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，
∴（2n+1）²+（2n²+2n）²=（2n²+2n+1）²，
∵n是整數(shù)，
∴2n+1，2n²+2n，2n²+2n+1，是一組勾股數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股數(shù)，此題屬規(guī)律性題目，關(guān)鍵是通過觀察找出規(guī)律求解．