Question

17．已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點A （11，0），點B（0.6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合）．經(jīng)過點O、P折疊該紙片，得點B′和折痕OP（如圖①），經(jīng)過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ（如圖②）．當(dāng)點C′恰好落在邊OA上時，點P的坐標(biāo)是（$\frac{11-\sqrt{13}}{3}$，6），（$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$，6）．

Answer 1

分析 設(shè)BP=t，AQ=m，首先過點P作PE⊥OA于E，易證△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的長，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到m=$\frac{1}{6}{t}^{2}-\frac{11}{6}t+6$，即可求得t的值，求出點P的坐標(biāo)．

解答 解：過點P作PE⊥OA于E，
∴∠PEA=∠QAC′=90°，
∴∠PC′E+∠EPC′=90°，
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，
∴∠EPC′=∠QC′A，
∴△PC′E∽△C′QA，
∴$\frac{PE}{AC′}=\frac{PC′}{C′Q}$，
設(shè)BP=t，AQ=m，
∵PC′=PC=11-t，PE=OB=6，C′Q=CQ=6-m，
AC′=$\sqrt{C′{Q}^{2}-A{Q}^{2}}$=$\sqrt{36-12m}$，
∴$\frac{6}{\sqrt{36-12m}}=\frac{11-t}{6-m}$，
∵$\frac{11-t}{6-m}=\frac{6}{t}$，
∴m=$\frac{1}{6}{t}^{2}-\frac{11}{6}t+6$，
又36-12m=t²，
將m=$\frac{1}{6}{t}^{2}-\frac{11}{6}t+6$代入36-12m=t²，化簡得：
3t²-22t+36=0，
解這個方程得：t₁=$\frac{11-\sqrt{13}}{3}$，t₂=$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$，
∴點P的坐標(biāo)（$\frac{11-\sqrt{13}}{3}$，6），（$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$，6）．
故答案為：（$\frac{11-\sqrt{13}}{3}$，6），（$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$，6）．

點評 本題主要考查了圖形的折疊問題，矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及運用數(shù)形結(jié)合思想列方程的綜合運用，運用相似的性質(zhì)列比例式得出方程求出BP是解決問題的關(guān)鍵．