Question

6．如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BM是AC邊中線，點(diǎn)D，E分別在邊AC和BC上，DB=DE，EF⊥AC于點(diǎn)F，以下結(jié)論：
（1）∠DBM=∠CDE； （2）S_△BDE＜S_{四邊形BMFE}；
（3）CD•EN=BN•BD； （4）AC=2DF．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1）設(shè)∠EDC=x，則∠DEF=90°-x從而可得到∠DBE=∠DEB=180°-（90°-x）-45°=45°+x，∠DBM=∠DBE-∠MBE=45°+x-45°=x，從而可得到∠DBM=∠CDE；
（2）可證明△BDM≌△DEF，然后可證明：△DNB的面積=四邊形NMFE的面積，所以△DNB的面積+△BNE的面積=四邊形NMFE的面積++△BNE的面積；
（3）可證明△DBC∽△NEB；
（4）由△BDM≌△DEF，可知DF=BM，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可知BM=$\frac{1}{2}$AC．

解答 解：（1）設(shè)∠EDC=x，則∠DEF=90°-x
∴∠DBE=∠DEB=∠EDC+∠C=x+45°，
∵BD=DE，
∴∠DBM=∠DBE-∠MBE=45°+x-45°=x．
∴∠DBM=∠CDE，故（1）正確；
（2）在Rt△BDM和Rt△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠CDE}\\{∠DMB=∠DFE}\\{BD=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDM≌Rt△DEF．
∴S_△BDM=S_△DEF．
∴S_△BDM-S_△DMN=S_△DEF-S_△DMN，即S_△DBN=S_{四邊形MNEF}．
∴S_△DBN+S_△BNE=S_{四邊形MNEF}+S_△BNE，
∴S_△BDE=S_{四邊形BMFE}，故（2）錯(cuò)誤；
（3）∵∠BNE=∠DBM+∠BDN，∠BDM=∠BDE+∠EDF，∠EDF=∠DBM，
∴∠BNE=∠BDM．
又∵∠C=∠NBE=45°
∴△DBC∽△NEB．
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{BN}{EN}$，
∴CD•EN=BN•BD；故（3）正確；
（4）∵Rt△BDM≌Rt△DEF，
∴BM=DF，
∵∠B=90°，M是AC的中點(diǎn)，
∴BM=$\frac{1}{2}AC$．
∴DF=$\frac{1}{2}AC$，故（4）正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是全等三角形、相似三角形性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，利用面積法證明S_△BDE=S_{四邊形BMFE}是解答本題的關(guān)鍵．