Question

5．已知AD∥BC，AB⊥AD，點(diǎn)E點(diǎn)F分別在射線AD，射線BC上，若點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱，AC與BD相交于點(diǎn)G，則（　�。�

• A． ∠AEB+22°=∠DEF
• B． 1+tan∠ADB=$\sqrt{2}$
• C． 2BC=5CF
• D． 4cos∠AGB=$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 連接CE，設(shè)EF與BD相交于點(diǎn)O，根據(jù)軸對(duì)稱性可得AB=AE，并設(shè)為1，利用勾股定理列式求出BE，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解．

解答 解：如圖，連接CE，設(shè)EF與BD相交于點(diǎn)O，
由軸對(duì)稱性得，AB=AE，設(shè)為1，
則BE=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱，
∴DE=BF=BE=$\sqrt{2}$，
∴AD=1+$\sqrt{2}$，
∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，
∴四邊形ABCE是正方形，
∴BC=AB=1，∠AEB+22°=45°+22°=67°，
∵BE=BF，∠EBF=∠AEB=45°，
∴∠BFE=$\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
∴∠DEF=∠BFE=67.5°，故A錯(cuò)誤；
1+tan∠ADB=1+$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=1+$\sqrt{2}$-1=$\sqrt{2}$，故B正確；
∵CF=BF-BC=$\sqrt{2}$-1，
∴5CF=5（$\sqrt{2}$-1），
又∵2BC=2×1=2，
∴2BC≠5CF，故C錯(cuò)誤；
由勾股定理得，OE²=BE²-BO²=（$\sqrt{2}$）²-（$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}$）²=$\frac{4-2\sqrt{2}}{4}$，
∴OE=$\frac{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{2}$，
∵∠EBG+∠AGB=90°，∠EBG+∠BEF=90°，
∴∠AGB=∠BEF，
又∵∠BEF=∠DEF，
∴cos∠AGB=$\frac{OE}{DE}$=$\frac{\frac{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$，4cos∠AGB=2$\sqrt{2-\sqrt{2}}$，故D錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，設(shè)出邊長(zhǎng)為1可使求解過(guò)程更容易理解．