Question

5．如圖，等腰三角形ABC的外心與原點重合，AB=AC=10，BC=12，頂點A在x軸負半軸，頂點B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$位于第一象限的圖象上，則k的值為$\frac{21}{2}$．

Answer 1

分析 設BC與x軸相交于點D，連接OB，先根據(jù)AB=AC=10，BC=12，點O是△ABC的外心可知AD是BC的垂直平分線，OB=OA，再根據(jù)勾股定理求出AD的長，設OD=x，則OA=OB=8-x，在Rt△BOD中根據(jù)勾股定理求出x的值，故可得出B點坐標，代入反比例函數(shù)的解析式即可得出結論．

解答 解：設BC與x軸相交于點D，連接OB，
∵AB=AC=10，BC=12，點O是△ABC的外心，
∴AD是BC的垂直平分線，OB=OA，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=6，
∴AD=$\sqrt{{AB}^{2}-{BD}^{2}}$=$\sqrt{{10}^{2}-{6}^{2}}$=8．
設OD=x，則OA=OB=8-x，
在Rt△BOD中，OB²=OD²+BD²，即（8-x）²=x²+6²，解得x=$\frac{7}{4}$，
∴B（$\frac{7}{4}$，6），
∴k=$\frac{7}{4}$×6=$\frac{21}{2}$．
故答案為：$\frac{21}{2}$．

點評 本題考查的是三角形的外接圓與外心，熟知三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心是解答此題的關鍵．