Question

3．如圖甲所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．BF與CE相交于點M
（1）求證：①△ACE≌△AFB；②EC⊥BF．
（2）如圖乙連接EF，畫出△ABC邊BC上的高線AD，延長DA交EF于點N，其他條件不變，下列三個結論：
①∠EAN=∠ABC；
②△AEN≌△BAD；
③S_△AEF=S_△ABC；
④EN=FN．
正確的結論是①③④（把正確結論的序號全部填上）

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC判定△ACE≌△AFB（SAS）；再根據(jù)全等三角形的性質得出∠ACM=∠AFM，根據(jù)Rt△ACF中，∠AFM+∠MFC+∠ACF=90°，可得∠ACM+∠MFC+∠ACF=90°，即△MCF是直角三角形，進而得出結論；
（2）先作EH⊥AN，交AN于點H，F(xiàn)K⊥AN，交AN延長線于點K，構造三對全等三角形：△AEH≌△BAD，△AFK≌△ACD，△FKN≌△EHN，根據(jù)全等三角形的面積相等，即可得出S_△ABD=S_△EAH，S_△FKA=S_△ADC，S_△ENH=S_△FNK，根據(jù)S_△ABC=S_△ABD+S_△ADC=S_△AEH+S_△AFK=（S_△EAN-S_△ENH）+（S_△FNA+S_△FNK）=S_△EAN+S_△FNA=S_△AEF，即可得出結論③；最后根據(jù)△FKN≌△EHN，得出FN=EN即可．

解答 （1）證明：①∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAF=∠EAC，
在△ACE和△AFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠BAF=∠EAC}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△AFB（SAS）；
  ②∵△ACE≌△AFB，
∴∠ACM=∠AFM，
∵Rt△ACF中，∠AFM+∠MFC+∠ACF=90°，
∴∠ACM+∠MFC+∠ACF=90°，
即△MCF是直角三角形，
∴∠CMF=90°，即CE⊥BF；

（2）解：∵∠BAE=90°，AD⊥BD，
∴∠EAN+∠BAD=90°=∠ABC+∠BAD，
∴∠EAN=∠ABC，故①正確；
∵∠AEN與∠BAD不一定相等，
∴△AEN與△BAD不一定全等，故②錯誤；
作EH⊥AN，交AN于點H，F(xiàn)K⊥AN，交AN延長線于點K，
∴∠AEH+∠EAH=90°，
∵∠EAB=90°，
∴∠EAH+∠BAD=90°，
∴∠AEH=∠BAD，
在△AEH和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHE=∠ADB=90°}\\{∠AEH=∠BAD}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△BAD（AAS），
∴EH=AD，
同理可得：△AFK≌△ACD，
∴FK=AD，
∴FK=EH，
在△FKN和△EHN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FKN=∠EHN=90°}\\{∠FNK=∠ENH}\\{FK=EH}\end{array}\right.$，
∴△FKN≌△EHN（AAS），
∴S_△ABD=S_△EAH，S_△FKA=S_△ADC，S_△ENH=S_△FNK，
∴S_△ABC=S_△ABD+S_△ADC
=S_△AEH+S_△AFK
=（S_△EAN-S_△ENH）+（S_△FNA+S_△FNK）
=S_△EAN+S_△FNA
=S_△AEF，
即S_△ABC=S_△AEF，故③正確；
∵△FKN≌△EHN，
∴FN=EN，故④正確．
故答案為：①③④．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質的應用，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．解題時需要作輔助線構造三對全等三角形，注意全等三角形對應邊相等，面積相等的靈活運用．