Question

12．如圖，A（a，0）、B（0，b），且$\sqrt{a-b}$+|b+4|=0．
（1）求A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若P為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，C為B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，PD⊥PC交直線AB于點(diǎn)D，求證：PD=PC；
（3）若點(diǎn)Q為B點(diǎn)下方的一動(dòng)點(diǎn)，M為AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AQ=MQ，過M點(diǎn)作MN⊥y軸于N，問：當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，QN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，這個(gè)數(shù)只能是零．由此即可解決問題．
（2）想辦法證明∠PDB=∠PBD即可．由∠CAD+∠DPC=180°，推出∠ADP+∠ACP=180°，由∠ADP+∠2=180°，推出∠2=∠ACP=∠1+∠ACO=∠1+45°，由∠PBD=∠PBC+∠ABO=∠1+45°，即可推出∠PDB=∠PBD
（3）如圖3中，結(jié)論：QN的長(zhǎng)度不變，QN=4．只要證明△QAO≌△MQN，即可推出NQ=OA=4．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-b}$+|b+4|=0，
又∵$\sqrt{a-b}$≥0，|b+4|≥0，
∴a=b=-4，
∴A（-4，0），B（0，-4）．

（2）如圖1中，

∵A（-4，0），B（0，4），
∴OA=OB=4，
∵B、C關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴OC=OB=OA=4，PC=PB，
∴∠CAB=90°，∠1=∠PBC，∠ACB=∠ABC=45°，
∵∠CPD=90°，
∴∠CAD+∠DPC=180°，
∴∠ADP+∠ACP=180°，
∵∠ADP+∠2=180°，
∴∠2=∠ACP=∠1+∠ACO=∠1+45°，
∵∠PBD=∠PBC+∠ABO=∠1+45°，
∴∠2=∠PBD，
∴PD=PB．

（3）如圖3中，結(jié)論：QN的長(zhǎng)度不變，QN=4．理由如下：

∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=∠4=45°，
∴∠QAO=∠1+45°，∠3=∠4+∠2=45°+∠2，
∵QA=QM，
∴∠1=∠2，
∴∠QAO=∠3，
在△QAO和△MQN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QAO=∠3}\\{∠AOQ=∠MNQ}\\{AQ=QM}\end{array}\right.$，
∴△QAO≌△MQN，
∴NQ=OA=4，
∴NQ為定值4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何變換、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，正確尋找全等三角形是本題的突破口，屬于中考?jí)狠S題．