Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，定義點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之間的“直角距離”為：d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|
（1）若P（1，-2）、Q（2，3），則d（P，Q）=6．
（2）若C（x，y）到點A（1，3）、B（6，9）的“直角距離”相等，其中實數(shù)x、y滿足0≤x≤10、0≤y≤10，求所有滿足條件的點C的軌跡的長度之和為5（1+$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之間的“直角距離”為：d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，進(jìn)行計算即可；
（2）根據(jù)已知條件可推斷出|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|，對y≥9，y≤3和3≤y≤9時分類討論求得x和y的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)x的范圍確定線段的長度，最后相加即可．

解答 解：（1）點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之間的“直角距離”為：d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，
∵P（1，-2）、Q（2，3），
∴d（P，Q）=|1-2|+|-2-3|=1+5=6，
故答案為：6；

（2）∵C（x，y）到點A（1，3），B（6，9）的“直角距離”相等，
∴|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|①
當(dāng)y≥9時，①式化為|x-1|+6=|x-6|，無解；
當(dāng)y≤3時，①式化為|x-1|=6+|x-6|，無解；
當(dāng)3≤y≤9時，①式化為2y-12=|x-6|-|x-1|．
若x≤1，則y=8.5，線段長度為1；
若1≤x≤6，則x+y=9.5，則線段長度為5$\sqrt{2}$；
若x≥6，則y=3.5，線段長度為4．
綜上可知，點C的軌跡構(gòu)成的線段長度之和為：1+5$\sqrt{2}$+4=5（1+$\sqrt{2}$），
故答案為：5（1+$\sqrt{2}$）．

點評 本題主要考查了軌跡，兩點間的距離公式的應(yīng)用以及含絕對值的方程，解題的關(guān)鍵是通過分類討論的思想對等式進(jìn)行化簡整理．