Question

20．保護(hù)生態(tài)環(huán)境，建設(shè)綠色社會已經(jīng)從理念變?yōu)槿藗兊男袆�，某化工廠2011年1月的利潤為160萬元，設(shè)2011年1月為第1個(gè)月，第x個(gè)月的利潤為y萬元，由于排污超標(biāo)，該廠決定從2011年1月底起適當(dāng)限產(chǎn)，并投入資金進(jìn)行治污改造，整個(gè)工程經(jīng)過治污改造、調(diào)試、全面投產(chǎn)是三個(gè)時(shí)期，經(jīng)測算：從1月到5月為治污改造期，y是x的二次函數(shù)，且其圖象的頂點(diǎn)為（5，80），到5月底治污改造工程順利完成，進(jìn)接的6月、7月為調(diào)試期，月利潤和5月份持平，調(diào)試期過后，設(shè)備全面投產(chǎn)，該廠每月利潤比前一個(gè)月增加15萬元，如圖所示．
（1）求治污改造期和全面投產(chǎn)期y與x的函數(shù)關(guān)系；
（2）全面投產(chǎn)后，經(jīng)過幾個(gè)月該廠月利潤才能達(dá)到2011年1月的水平？
（3）當(dāng)月利潤少于100萬元時(shí)，該月為工廠資金期連續(xù)超過6個(gè)月就有停產(chǎn)的危險(xiǎn)，問：該廠這次改造工廠是否導(dǎo)致停產(chǎn)的危險(xiǎn)？說明理由．

Answer 1

分析 （1）用頂點(diǎn)式設(shè)出二次函數(shù)解析式，把（1，160）代入可得二次函數(shù)解析式；
（2）7月后y=80+15×比7月份增加的月數(shù)，讓y=160求得合適的整數(shù)解即可；
（3）分別把100代入（1）（2）得到的關(guān)系式，看利潤為100時(shí)共有幾個(gè)月，與6比較即可．

解答 解：（1）根據(jù)圖象，二次函數(shù)圖象經(jīng)過（1，160），
設(shè)二次函數(shù)為y=a（x-5）²+80，
則16a+80=160，
解得a=5，
∴二次函數(shù)為y=5（x-5）²+80 （1≤x≤5），
∴治污改造期間y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=5（x-5）²+80；

（2）設(shè)利潤為y，
y=80+15（x-7），
當(dāng)y=160時(shí)，x=12$\frac{1}{3}$，
12$\frac{1}{3}$-7=5$\frac{1}{3}$，
∴全面投產(chǎn)后，經(jīng)過6個(gè)月，該廠利潤才能達(dá)到160萬元；

（3）當(dāng)y=100時(shí)，100=5（x-5）²+80，解得x₁=3，x₂=7，
80+15（x-7）=100，解得x=8$\frac{1}{3}$，
∴資金緊張期共有8-2=6個(gè)月．
故該廠資金緊張期共有6個(gè)月，沒有停產(chǎn)的危險(xiǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=$-\frac{2a}$時(shí)取得．