Question

12．一種產品的進價為40元，某公司在銷售這種產品時，每年總開支為100萬元（不含進價）．經過若干年銷售得知，年銷售量y（萬件）是銷售單價x（元）的一次函數，并得到如下部分數據：

銷售單價x（元）	50	60	70	80
年銷售量y（萬件）	5.5	5	4.5	4

（1）求y關于x的函數關系式；
（2）寫出該公司銷售這種產品的年利潤w（萬元）關于銷售單價x（元）的函數關系式；當銷售單價x為何值時，年利潤最大？
（3）試通過（2）中的函數關系式及其大致圖象幫助該公司確定產品的銷售單價范圍，使年利潤不低于60萬元．

Answer 1

分析 （1）根據表中的已知點的坐標利用待定系數法確定直線的解析式即可；
（2）根據總利潤=單件利潤×銷量列出函數關系式配方后即可確定最值；
（3）令利潤等于60求得相應的自變量的值即可確定銷售單價的范圍．

解答 解：（1）設y=kx+b，把（60，5），（80，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{60k+b=5}\\{80k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{20}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
故答案為：y=-$\frac{1}{20}$x+8；

（2）該公司年利潤w=（-$\frac{1}{20}$x+8）（x-40）-100=-$\frac{1}{20}$（x-100）²+80，
當x=100時，該公司年利潤最大值為80萬元；

（3）由題意得：-$\frac{1}{20}$（x-100）²+80=60，
解得：x₁=80，x₂=120，
故該公司確定銷售單價x的范圍是：80≤x≤120．

根據函數圖象可得：當80≤x≤120時，
該公司產品的利潤不低于60萬元．

點評 本題考查了二次函數的應用，解題時把實際問題轉化為二次函數，再對二次函數進行實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．