Question

4．如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，與AC平行的圓O的一條切線交CD的延長線于點M，交AB的延長線于點E，切點為F，連接AF交CD于點N．
（1）求證：CA=CN；
（2）連接DF，若cos∠DFA=$\frac{4}{5}$，AN=2$\sqrt{10}$，求圓O的直徑的長度．

Answer 1

分析 （1）連接OF，根據(jù)切線的性質(zhì)結(jié)合四邊形內(nèi)角和為360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通過互余利用角的計算即可得出∠CAN=90°-∠OAF=∠ANC，由此即可證出CA=CN；
（2）連接OC，由圓周角定理結(jié)合cos∠DFA=$\frac{4}{5}$、AN=2$\sqrt{10}$，即可求出CH、AH的長度，設(shè)圓的半徑為r，則OH=r-6，根據(jù)勾股定理即可得出關(guān)于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圓O直徑的長度．

解答 （1）證明：連接OF，則∠OAF=∠OFA，如圖所示．
∵ME與⊙O相切，
∴OF⊥ME．
∵CD⊥AB，
∴∠M+∠FOH=180°．
∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF，∠FOH+∠BOF=180°，
∴∠M=2∠OAF．
∵ME∥AC，
∴∠M=∠C=2∠OAF．
∵CD⊥AB，
∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，
∴∠ANC=90°-∠OAF，∠BAC=90°-∠C=90°-2∠OAF，
∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°-∠OAF=∠ANC，
∴CA=CN．

（2）連接OC，如圖2所示．
∵cos∠DFA=$\frac{4}{5}$，∠DFA=∠ACH，
∴$\frac{CH}{AC}$=$\frac{4}{5}$．
設(shè)CH=4a，則AC=5a，AH=3a，
∵CA=CN，
∴NH=a，
∴AN=$\sqrt{A{H}^{2}+N{H}^{2}}$=$\sqrt{（3a）^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{10}$a=2$\sqrt{10}$，
∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．
設(shè)圓的半徑為r，則OH=r-6，
在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r-6，
∴OC²=CH²+OH²，r²=8²+（r-6）²，
解得：r=$\frac{25}{3}$，
∴圓O的直徑的長度為2r=$\frac{50}{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、圓周角定理以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）通過角的計算找出∠CAN=90°-∠OAF=∠ANC；（2）利用解直角三角形求出CH、AH的長度．