Question

7．求使不等式|x²+px+q|≤2在1≤x≤5的恒成立的實數(shù)對（p，q）．

Answer 1

分析 令f（x）=x²+px+q，若|x²+px+q|≤2在1≤x≤5的恒成立，則首先需滿足$\left\{\begin{array}{l}{-2≤f（1）≤2}\\{-2≤f（5）≤2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2≤1+p+q≤2}\\{-2≤25+5p+q≤2}\end{array}\right.$  （1），由該不等式組可得出p的取值范圍，從而確定函數(shù)
f（x）=x²+px+q的對稱軸x=-$\frac{p}{2}$在1≤x≤5中，所以p、q還需滿足f（-$\frac{p}{2}$）≥-2，結合不等式組（1）可求得p、q的值．

解答 解：令f（x）=x²+px+q，
∵|x²+px+q|≤2在1≤x≤5的恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤f（1）≤2}\\{-2≤f（5）≤2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2≤1+p+q≤2}\\{-2≤25+5p+q≤2}\end{array}\right.$  （1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤-1-p-q≤2}&{①}\\{-2≤25+5p+q≤2}&{②}\end{array}\right.$，
①+②得：-7≤p≤-5，
∴$\frac{5}{2}$≤-$\frac{p}{2}$≤$\frac{7}{2}$，
∴函數(shù)f（x）=x²+px+q的對稱軸x=-$\frac{p}{2}$在1≤x≤5中，
∴p、q還需滿足f（-$\frac{p}{2}$）≥-2，即$\frac{4q-{p}^{2}}{4}$≥-2，即q≥$\frac{{p}^{2}}{4}$-2，
結合不等式組（1）可得p、q需滿足不等式組：$\left\{\begin{array}{l}{-2≤1+p+q≤2}\\{-2≤25+5p+q≤2}\\{q≥\frac{{p}^{2}}{4}-2}\end{array}\right.$，
解該不等式組可得p=-6，q=7，
∴使不等式|x²+px+q|≤2在1≤x≤5的恒成立的實數(shù)對為（-6，7）．

點評 本題主要考查一元二次不等式，一元二次不等式問題可轉化為二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的圖象和性質解題可將問題簡單化．