Question

3．如圖1，點(diǎn)E為正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，EF⊥EC，且EF=EC，連接AF．
（1）求∠EAF的度數(shù)；
（2）如圖2，連接FC交BD于M，交AD于N．
①求證：$\sqrt{2}$AD=AF+2DM；
②若AF=10$\sqrt{2}$，AN=12，則MD的長(zhǎng)為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）首先在BC上截取BG=BE，連接EG，求出∠BGE=45°，即可求出∠CGE=135°；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△AEF≌△GCE，即可求出∠EAF的度數(shù)．
（2）①首先延長(zhǎng)AF、CD交于點(diǎn)H，判斷出∠FAD=45°，進(jìn)而判斷出四邊形ABDH是平行四邊形，推得DH=AB=CD，即可推得DM是△CFH的中位線，所以FH=2DM；然后在等腰直角三角形HAD中，根據(jù)AH=$\sqrt{2}$AD，可推得$\sqrt{2}$AD=AF+2DM．
②首先根據(jù)AF=10$\sqrt{2}$，AN=12，$\sqrt{2}$AD=AF+2MD，可得$\sqrt{2}$（12+DN）=10$\sqrt{2}$+2MD；然后根據(jù)AF∥DM，判斷出△AFN∽△DMN，即可判斷出$\frac{AN}{DN}=\frac{AF}{DM}$，據(jù)此推得DN、MD的關(guān)系，求出MD的長(zhǎng)為多少即可．

解答 （1）解：如圖1，在BC上截取BG=BE，連接EG，
，
∵BG=BE，∠EBG=90°，
∴∠BGE=45°，∠CGE=135°，
∵AB=BC，BG=BE，
∴AE=GC，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠GCE+∠BEC=90°，
∴∠AEF=∠GCE，
在△AEF和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=GC}\\{∠AEF=∠GCE}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△GCE，
∴∠EAF=∠CGE=135°，
即∠EAF的度數(shù)是135°．

（2）①證明：如圖2，延長(zhǎng)AF、CD交于點(diǎn)H，
，
由（1）知，∠EAF=135°，
∴∠FAD=135°-90°=45°，
∵∠ADB=45°，
∴AH∥BD，
又∵AB∥HD，
∴四邊形ABDH是平行四邊形，
∴DH=AB=CD，
即D是CH的中點(diǎn)，
∴DM是△CFH的中位線，
∴FH=2DM，
在等腰直角三角形HAD中，
AH=$\sqrt{2}$AD，
∵AH=AF+FH=AF+2DM，
∴$\sqrt{2}$AD=AF+2DM．

②解：如圖3，
，
∵AF=10$\sqrt{2}$，AN=12，$\sqrt{2}$AD=AF+2MD，
∴$\sqrt{2}$（12+DN）=10$\sqrt{2}$+2MD，
∵AF∥DM，
∴△AFN∽△DMN，
∴$\frac{AN}{DN}=\frac{AF}{DM}$，
即$\frac{12}{DN}=\frac{10\sqrt{2}}{DM}$，
∴DN=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$MD，
把DN=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$MD代入$\sqrt{2}$（12+DN）=10$\sqrt{2}$+2MD，
整理，可得
$\frac{6}{5}MD$+12$\sqrt{2}$=2MD+10$\sqrt{2}$，
解得MD=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
即MD的長(zhǎng)為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了四邊形綜合題，考查了分析推理能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①判定定理1：SSS--三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．②判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．③判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．④判定定理4：AAS--兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．
（3）此題還考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及正方形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．