Question

8．如圖，在平面直角坐標系中有矩形OABC，AO=4，點E、F分別是OC和AB的中點，將矩形OABC折疊，使點B落在EF上的點G，折痕為AH，若HG延長線恰好經過點O，反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象過點G，求k的值．

Answer 1

分析 連接OG，過點H作HM⊥x軸于M，交EF于N，則G為OH的中點，N為HM的中點，設BH=a（a＞0），AB=b（b＞0），則OG=GH=a，AG=AB=b，OM=OA-BH=4-a，通過勾股定理可得出4a²=b²+（4-a）²①和b²=16-a²②，解之即可得出a、b的值，進而即可得出點G的坐標，再根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出k值．

解答 解：如圖，連接OG，過點H作HM⊥x軸于M，交EF于N，則G為OH的中點，N為HM的中點．
設BH=a（a＞0），AB=b（b＞0），則OG=GH=a，AG=AB=b，OM=OA-BH=4-a，
在Rt△OMH中，OH=2a，HM=b，OM=4-a，
∴OH²=HM²+OM²，即4a²=b²+（4-a）²①．
在Rt△AOG中，∠AGO=90°，OG=a，AG=b，OA=4，
∴AO²=AG²+OG²，即16=a²+b²，
∴b²=16-a²②．
將②代入①中得：a²+2a-8=0，
解得：a=2或a=-4（舍去），
∴b=$\sqrt{16-{a}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴EG=$\frac{1}{2}$OM=1，EO=$\frac{1}{2}$b=$\sqrt{3}$，
∴點G的坐標為（1，$\sqrt{3}$）．
∵反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象過點G，
∴k=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、矩形的性質、翻折變換、三角形的中位線以及勾股定理，利用勾股定理結合解方程組找出點G的坐標是解題的關鍵．