Question

4．如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠B=30°，以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)到△A′B′C′的位置，且使A′B′經(jīng)過點(diǎn)A．
（1）求∠ACA′的度數(shù)，判斷△ACA′的形狀；
（2）求線段AC與線段AB的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）證明∠BAC=60°；證明AC=A′C，得到∠A′=∠A′AC=60°，求出∠ACA′=60°；
（2）由△ABC≌△A′B′C′得到∠A′CB=∠ACB=90°，求得∠B′=∠B=30°，由（1）知：∠ACA′=60°，得到AC=AB′，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC，∠BAC=60°；
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠A′=∠BAC=60°，AC=A′C，
∴∠A′=∠A′AC=60°，
∴∠ACA′=180°-120°=60°，
∴△ACA′是等邊三角形；
（2）∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠A′CB=∠ACB=90°，
∠B′=∠B=30°，
A′B′=AB，
由（1）知：∠ACA′=60°，
∴∠ACB′=30°，
∴AC=AB′，
∴AB=A′B′=AA′+AB′=2AC=2AC．

點(diǎn)評 該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等來分析、判斷、解答．