Question

19．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求直線BC的解析式；
（2）點(diǎn)D是線段BC中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，DE．當(dāng)△CDE的面積最大時(shí)，過點(diǎn)E作y軸垂線，垂足為F，點(diǎn)P為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，將△CEF繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)F，P，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是F′，P′，E′，點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F′處，再沿F′C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P′處停止．求△CDE面積的最大值及點(diǎn)Q經(jīng)過的最短路徑的長；
（3）如圖2，直線BH經(jīng)過點(diǎn)B與y軸交于點(diǎn)H（0，3）動(dòng)點(diǎn)M從O出發(fā)沿OB方向以每秒1個(gè)單位長度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從B點(diǎn)沿BH方向以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M，點(diǎn)N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)N作OB的平行線交y軸于點(diǎn)I，連接MI，MN，將△MNI沿NI翻折得△M′NI，連接HM′，當(dāng)△M′HN為等腰三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）先令y=0和x=0分別求拋物線與x軸和y軸的交點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式；
（2）如圖1，根據(jù)△CDE中CD是定值，作高線EG，則EG最大時(shí)，面積最大，作BC的平行線l，當(dāng)直線l與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即△=0時(shí)，求E的坐標(biāo)，并求出此時(shí)△CDE面積；
根據(jù)垂線段最短和兩點(diǎn)之間線段最短，可知：Q從P到F′的最短路徑是：延長E′F′交EF于P，確定P點(diǎn)后，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：F′到C是走線段F′C，C到P′是走線段CP′，最后計(jì)算其和即可；
（3）當(dāng)△M′HN為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論，分別建立方程計(jì)算即可．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$=0，
解得x=4或-1，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（-1，0），B（4，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=2$\sqrt{3}$，
∴C（0，2$\sqrt{3}$），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
把B（4，0）和C（0，2$\sqrt{3}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$；
（2）∵直線BC一定，點(diǎn)D是線段BC中點(diǎn)，
∴CD是定值，
過E作EG⊥CD于G，則當(dāng)EG最大時(shí)，△CDE面積有最大值，
在BC的上方，作直線BC的平行線l，當(dāng)直線l與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則交點(diǎn)為E，此時(shí)，△CDE面積最大，
設(shè)直線l：y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+n}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}x+2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
-$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}x+2\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+n，
-$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$+2$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$-n=0，
△=$（2\sqrt{3}）^{2}$-4×$（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$$（2\sqrt{3}-n）$=0，
12+2$\sqrt{3}$（$2\sqrt{3}-n$）=0，
24=2$\sqrt{3}$n，
n=4$\sqrt{3}$，
-$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$+2$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$=0，
x²-4x+4=0，
x₁=x₂=2，
∴E（2，3$\sqrt{3}$），
∵點(diǎn)D是線段BC中點(diǎn)，
∴D（2，$\sqrt{3}$），
∴DE⊥x軸，且DE=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
此時(shí)，S_△DCE=$\frac{1}{2}$DE•x_D=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$；
∵C（0，2$\sqrt{3}$），E（2，3$\sqrt{3}$），EF⊥y軸，
∴CF=3$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，EF=2，
由旋轉(zhuǎn)得：CF′=CF=$\sqrt{3}$，E′F′=EF=2，
當(dāng)F′P⊥EF時(shí)，PF′最短，即E′P⊥EF，E′、F′、P共線，
∴F′P=CF=$\sqrt{3}$，F(xiàn)P=CF′=F′P′=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：CP′=$\sqrt{CF{′}^{2}+F′P{′}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴點(diǎn)Q的最短路徑是：PF′+F′C+CP′=$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$；
則△CDE面積的最大值是2$\sqrt{3}$，點(diǎn)Q經(jīng)過的最短路徑的長為2$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$；
（3）由題意得：OM=t，BN=2t，則BM=4-t，HN=5-2t
分三種情況：
①當(dāng)HN=NM′時(shí)，如圖3，
由折疊得：NM′=NM，
過N作ND⊥x軸于D，連接MM′，則IN是MM′的中垂線，
sin∠HBO=$\frac{ND}{NB}=\frac{OH}{BH}$，
∴$\frac{ND}{2t}=\frac{3}{5}$，
∴ND=$\frac{6t}{5}$，
同理得：BD=$\frac{8t}{5}$，
∴DM=BD-BM=$\frac{8t}{5}$-（4-t）=$\frac{13}{5}t$-4，
∵HN=NM，
∴$（5-2t）^{2}=（\frac{6}{5}t）^{2}+（\frac{13}{5}t-4）^{2}$，
21t²-4t-45=0，
t₁=$\frac{2+\sqrt{949}}{21}$，t₂=$\frac{2-\sqrt{949}}{21}$（舍）；
②當(dāng)HN=HM′時(shí)，如圖4，過M′作M′G⊥y軸于G，
由①得：OG=MM′=2DN=$\frac{12}{5}t$，OM=M′G=m，
∴GH=$\frac{12t}{5}$-3，
在Rt△GHM′中，M′G²+GH²=M′H²，
∴t²+$（\frac{12}{5}t-3）^{2}$=（5-2t）²，
69t²+140t-400=0，
t₁=$\frac{-70-50\sqrt{13}}{69}$（舍），t₂=$\frac{-70+50\sqrt{13}}{69}$，
③當(dāng)M′H=M′N時(shí)，如圖5，
同理得：HM′=M′N=MN，
在Rt△HGM′和Rt△DNM中，GH²+GM′²=DM²+DN²，
∴t²+$（\frac{12}{5}t-3）^{2}$=$（\frac{6}{5}t）^{2}$+$（\frac{13}{5}t-4）^{2}$，
36t²-160t+175=0，
（2t-5）（18t-35）=0，
t₁=$\frac{5}{2}$（舍），t₂=$\frac{35}{18}$，
綜上所述，當(dāng)△M′HN為等腰三角形時(shí)，t的值是$\frac{2+\sqrt{949}}{21}$或$\frac{-70+50\sqrt{13}}{69}$或$\frac{35}{18}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、利用待定系數(shù)法求直線的解析式、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題以及最短路徑問題，第三問有難度，采取了分類討論的思想，并與方程相結(jié)合，利用勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)列方程解決問題．