Question

12．如圖，直線y=mx+n（m≠0）與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）交于A、B兩點(diǎn)，直線AB與坐標(biāo)軸分別交于C、D兩點(diǎn)，連接OA，若OA=2$\sqrt{10}$，tan∠AOC=$\frac{1}{3}$，點(diǎn)B（-3，b）．
（1）分別求出直線AB與雙曲線的解析式；
（2）連接OB，求S_△AOB．

Answer 1

分析 （1）作AE⊥x軸于點(diǎn)E，由tan∠AOC=$\frac{AE}{OE}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)AE=x、OE=3x，結(jié)合OA=2$\sqrt{10}$利用勾股定理求得x的值，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而求得反比例函數(shù)解析式，進(jìn)一步求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式；
（2）先求得直線AB與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)S_△AOB=S_△COD-S_△AOC-S_△BOD可得答案．

解答 解：（1）如圖，作AE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵tan∠AOC=$\frac{AE}{OE}$=$\frac{1}{3}$，
∴設(shè)AE=x，OE=3x，
則OA=$\sqrt{A{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$x=2$\sqrt{10}$，
∴x=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，2），
代入y=$\frac{k}{x}$，得：k=-12，
則反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{12}{x}$，
當(dāng)x=-3時，y=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，4），
將點(diǎn)A（-6，2）、B（-3，4）代入y=kx+b，得：
$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=2}\\{-3k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+6；

（2）在直線y=$\frac{2}{3}$x+6中，
當(dāng)x=0時，y=6，即點(diǎn)D（0，6），
當(dāng)y=0時，$\frac{2}{3}$x+6=0，解得x=-9，即點(diǎn)C（-9，0），
S_△AOB=S_△COD-S_△AOC-S_△BOD
=$\frac{1}{2}$×9×6-$\frac{1}{2}$×9×2-$\frac{1}{2}$×6×3
=9．

點(diǎn)評 本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，熟練掌握三角函數(shù)的定義、勾股定理、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及割補(bǔ)法求三角形的面積是解題的關(guān)鍵．