Question

14．【閱讀發(fā)現(xiàn)】如圖①，在△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AD上一點(diǎn)，且DE=BD，可知AB=CE．
【類比探究】如圖②，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，E是OC上任意一點(diǎn)，AG⊥BE于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)F．判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【推廣應(yīng)用】在圖②中，若AB=4，BF=$\sqrt{2}$，則△AGE的面積為$\frac{18}{5}$．

Answer 1

分析 【閱讀發(fā)現(xiàn)】證明△ACD是等腰直角三角形，得出AD=CD，由SAS證明△ABD≌△CED，即可得出AB=CE；
【類比探究】由AAS證明△ABF≌△BCE，即可得出AF=BE；
【推廣應(yīng)用】由勾股定理求出BD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，得出OA=OB=OC=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$，求出OF=OB-BF=$\sqrt{2}$，由勾股定理得出AF=$\sqrt{O{A}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$，由ASA證明△OBE≌△OAF，得出OE=OE=$\sqrt{2}$，求出AE=OA+OE=3$\sqrt{2}$，證明△AOF∽△AGE，得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出GE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，AG=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，即可得出△AGE的面積．

解答 【閱讀發(fā)現(xiàn)】解：∵AD⊥BC，∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠CDE=90°，△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD，
在△ABD和△CED中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}&{\;}\\{∠ADB=∠CDE}&{\;}\\{BD=ED}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴AB=CE；
【類比探究】解：AF=BE；理由如下：
∵正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠BAD=90°，∠ABF=∠BCE=45°，AC⊥BD，OA=OB=OC，
∵AG⊥BE，
∴∠FAD+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠FAO+∠AEG=90°，
∴∠AFO=∠AEG，
∵∠AFB=∠FAO+90°，
∴∠AFB=∠BEC，
在△ABF和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠BCE}&{\;}\\{∠AFB=∠BEC}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△BCE（AAS），
∴AF=BE；
【推廣應(yīng)用】解：∵AB=AD=4，∠BAD=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴OA=OB=OC=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$，
∵BF=$\sqrt{2}$，
∴OF=OB-BF=$\sqrt{2}$，
∴AF=$\sqrt{O{A}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
由角的互余性質(zhì)得：∠OAF=∠OBE，
在△OBE和△OAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBE=∠OAF}&{\;}\\{OB=OA}&{\;}\\{∠BOE=∠AOF=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△OAF（ASA），
∴OE=OE=$\sqrt{2}$，
∴AE=OA+OE=3$\sqrt{2}$，
∵∠OAF=∠GAE，∠AOF=∠AGE=90°，
∴△AOF∽△AGE，
∴$\frac{OF}{GE}=\frac{OA}{AG}=\frac{AF}{AE}$，即$\frac{\sqrt{2}}{GE}=\frac{2\sqrt{2}}{AG}=\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$，
解得：GE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，AG=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∴△AGE的面積=$\frac{1}{2}$AG•GE=$\frac{1}{2}$×$\frac{6\sqrt{10}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{5}$=$\frac{18}{5}$；
故答案為：$\frac{18}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．