Question

19．如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=-x²+2mx（m＞0）與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．過點(diǎn)P（1，m）作直線PM⊥x軸于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)B，記點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C（點(diǎn)B，點(diǎn)C不重合）．連接CB，CP．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)m＞1時(shí)，連接CA，問m為何值時(shí)CA⊥CP？
（3）當(dāng)m＞1時(shí)過點(diǎn)P作PE⊥PC且PE=PC，問是否存在m，使得點(diǎn)E落在坐標(biāo)軸上？若存在，求出所有滿足要求的m的值，并定出相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把m=3代入得到拋物線的解析式，然后令y=0得：-x（x-6）=0，從而可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用拋物線的對(duì)稱性可得到拋物線的對(duì)稱軸為x=m，然后利用拋物線的對(duì)稱性可得到BC的長(zhǎng)；
（2）過點(diǎn)C作AH⊥x軸，垂足為H．先求得點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、點(diǎn)P和點(diǎn)C的坐標(biāo)可得到PB、BC的長(zhǎng)，然后由點(diǎn)C和點(diǎn)A的坐標(biāo)可求得CH，AH的長(zhǎng)，接下來，再證明△ACH∽△PCB，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求解即可；
（3）當(dāng)m＞1時(shí)，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1．①若點(diǎn)E在x軸上時(shí)，先證明△BPC≌△MEP，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到BC=PM，然后依據(jù)BC=PM可得到關(guān)于m的方程，從而可求得m的值，故此可得到E的坐標(biāo)；②若點(diǎn)E在y軸上，過點(diǎn)P作PN⊥y軸與點(diǎn)N．然后證明△BPC≌△NPE，則BP=NP=OM=1，則m-1=1，可求得m=2，于是可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)m=3時(shí)，y=-x²+6x=-x（x-6）．
令y=0得：-x（x-6）=0，解得x=0或x=6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）．
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3．
∵B、C關(guān)于直線x=3對(duì)稱，
∴BC=2×（3-1）=4．

（2）如圖1所示：過點(diǎn)C作AH⊥x軸，垂足為H．

∵拋物線y=-x²+2mx的對(duì)稱軸為x=m，
∴點(diǎn)B和點(diǎn)C直線x=m對(duì)稱．
∵當(dāng)x=1時(shí)，y=2m-1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2m-1）．
∴PB=m-1．
∵點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線x=m對(duì)稱，
∴C（2m-1，2m-1）．
∴BC=2m-2．
∴H（2m-1，0）．
∴AH=1，CH=2m-1．
∵∠ACH=∠PCB=90°，
∴∠ACH=∠BCP．
又∵∠AHC=∠PCB=90°，
∴△ACH∽△PCB．
∴$\frac{AH}{CH}$=$\frac{PB}{BC}$，即$\frac{1}{2m-1}$=$\frac{m-1}{2（m-1）}$，
∴m=$\frac{3}{2}$．

（3）當(dāng)m＞1時(shí)，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1．
①若點(diǎn)E在x軸上時(shí)，如圖2所示：

∵∠CPE=90°，
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，
∴∠BPC=∠MEP．
在△BPC和△MEP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PBC=∠PME=90°}\\{∠BPC=∠MEP}\\{PC=EP}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△MEP．
∴BC=PM．
∴2（m-1）=m，解得m=2，
∴E（2，0）．
若點(diǎn)E在y軸上，如圖3所示：過點(diǎn)P作PN⊥y軸與點(diǎn)N．

∵∠EPC=90°，
∴∠EPB+∠BPC=90°．
∵∠NPE+∠EPB=90°，∠NEP=∠EPB，
∴∠BPC=∠EPN．
在△EPN和△CPB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BPC=∠EPN}\\{∠PNE=∠PBC=90°}\\{PE=PC}\end{array}\right.$
∴△BPC≌△NPE．
∴BP=NP=OM=1，
∴m-1=1，
∴m=2
∴E（0，4）．
綜上所述，當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0）或（0，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到相關(guān)線段的長(zhǎng)度相等，從而列出關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵．