Question

7．如圖，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，將一塊三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在點(diǎn)A上，三角板斜邊交BC于點(diǎn)D，直角邊交BC于點(diǎn)E，在BC邊上取一點(diǎn)M，連接AM．
（1）若∠BAD=∠DAM，求證：∠CAE=∠EAM；
（2）在（1）的條件下，線段BD、CE、DE之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系，并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)和已知條件即可得出結(jié)論；
（2）延長AM到點(diǎn)F，使AF=AB，連接DF、EF．由SAS證明△ABD≌△AFD，得出BD=FD，∠AFD=∠B=45°． 同理FE=CE，∠AFE=∠C=45°． 證出∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．在Rt△DFE中，由勾股定理得出DF²+FE²=DE²，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=∠DAM+∠EAM=45°． 
∵∠BAD=∠DAM，
∴∠CAE=∠EAM． 
（2）解：BD²+CE²=DE²；理由如下：
延長AM到點(diǎn)F，使AF=AB，連接DF、EF．
由（1）可知，∠BAD=∠FAD，∠CAE=∠FAE．
在△ABD和△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}&{\;}\\{∠BAD=∠FAD}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AFD（SAS），
∴BD=FD，∠AFD=∠B=45°． 
同理FE=CE，∠AFE=∠C=45°． 
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
∵在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．