Question

15．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長是（　�。�

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 作DQ⊥BC于Q，如圖，易得四邊形DPBQ為矩形，再證明△ADP≌△CDQ得到DP=DQ，S_△ADP=S_△CDQ，則可判斷四邊形DPBQ正方形，四邊形DPCQ的面積=四邊形ABCD，然后根據正方形的面積公式計算DP的長．

解答 解：作DQ⊥BC于Q，如圖，
∵DP⊥AB，∠B=90°，∠DQB=90°，
∴四邊形DPBQ為矩形，
∵∠ADC=90°，
即∠ADP+∠PDC=90°，
而∠QDC+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠APD=∠CQD}\\{∠ADP=∠CDQ}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDQ，
∴DP=DQ，S_△ADP=S_△CDQ，
∴四邊形DPBQ正方形，四邊形DPCQ的面積=四邊形ABCD，
∴DP=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$．
故選C．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．