Question

10．如圖，已知在△ABC中，DE∥BC，若AD=2，BD=3．設(shè)$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$．
（1）求$\overrightarrow{DE}$和$\overrightarrow{AC}$（用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的式子表示）
（2）求作$\overrightarrow{DC}$在$\overrightarrow{DB}$、$\overrightarrow{BC}$方向上的分向量（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，得到$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{2}{5}$，由$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，推出DE=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$，根據(jù)三角形法則得到$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$，因為AC=$\frac{5}{2}$AE，可得$\overrightarrow{AC}$=$\frac{5}{2}$（$\overrightarrow$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$）=$\frac{5}{2}$$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$．
（2）利用平行四邊形法則，即可求得答案

解答 解：（1）∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{2}{5}$，
∵$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，
∴DE=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$，
∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$，
∵AC=$\frac{5}{2}$AE，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\frac{5}{2}$（$\overrightarrow$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$）=$\frac{5}{2}$$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$．

（2）如圖，

$\overrightarrow{DC}$在$\overrightarrow{DB}$方向上的分向量是$\overrightarrow{DB}$．
$\overrightarrow{DC}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的分向量是$\overrightarrow{DM}$．

點評 此題考查了平面向量的知識、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的中位線的性質(zhì)．注意掌握平行四邊形法則與三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵