Question

6．如圖，AB是⊙O直徑，OD⊥弦BC于點(diǎn)F，且交⊙O于點(diǎn)E，且∠AEC=∠ODB．
（1）判斷直線BD和⊙O的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）當(dāng)tan∠AEC=$\frac{3}{4}$，BC=8時(shí)，求OD的長．

Answer 1

分析 （1）由∠AEC=∠ODB、∠AEC=∠ABC知∠ABC=∠ODB，根據(jù)∠DBC+∠ODB=90°得∠DBC+∠ABC=90°，即可得證；
（2）由OD⊥BC、BC=8知FB=FC=4，根據(jù)tan∠AEC=tan∠ODB=tan∠OBF=$\frac{3}{4}$，求得DF=$\frac{16}{3}$，OF=3，據(jù)此可得答案．

解答 解：（1）直線BD和⊙O相切，
∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC，
∴∠ABC=∠ODB，
∵OD⊥BC，
∴∠DBC+∠ODB=90°，
∴∠DBC+∠ABC=90°，
∴∠DBO=90°，
∴直線BD和⊙O相切．

（2）∵OD⊥BC，BC=8，
∴FB=FC=4，
∵tan∠AEC=tan∠ODB=tan∠OBF=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{DF}{BF}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{OF}{BF}$=$\frac{3}{4}$，
∴DF=$\frac{16}{3}$，OF=3，
∴OD=OF+DF=3+$\frac{16}{3}$=$\frac{25}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、正切函數(shù)，熟練掌握切線的判定、圓周角定理及正切函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．