Question

9．如圖1，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P、EF、GH分別是折痕（如圖2）．設(shè)AE=x（0＜x＜2），給出下列判斷：
①當(dāng)x=1時(shí)，點(diǎn)P是正方形ABCD的中心；
②當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，EF+GH＞AC；
③當(dāng)0＜x＜2時(shí)，六邊形AEFCHG面積的最大值是3；
④當(dāng)0＜x＜2時(shí)，六邊形AEFCHG周長(zhǎng)的值不變．
其中正確的選項(xiàng)是（　　）

• A． ①③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 （1）由正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以當(dāng)AE=1時(shí)，重合點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，即點(diǎn)P是正方形ABCD的中心；
（2）由△BEF∽△BAC，得出EF=$\frac{3}{4}$AC，同理得出GH=$\frac{1}{4}$AC，從而得出結(jié)論．
（3）由六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積-△EBF的面積-△GDH的面積．得出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出最大值．
（4）六邊形AEFCHG周長(zhǎng)=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）求解．

解答 解：（1）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，
∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形，
∴當(dāng)AE=1時(shí)，重合點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P是正方形ABCD的中心；
故①結(jié)論正確，
（2）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，
∴△BEF∽△BAC，
∵x=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{EF}{AC}$，即$\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{EF}{AC}$，
∴EF=$\frac{3}{4}$AC，
同理，GH=$\frac{1}{4}$AC，
∴EF+GH=AC，
故②結(jié)論錯(cuò)誤，
（3）六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積-△EBF的面積-△GDH的面積．
∵AE=x，
∴六邊形AEFCHG面積=2²-$\frac{1}{2}$BE•BF-$\frac{1}{2}$GD•HD=4-$\frac{1}{2}$×（2-x）•（2-x）-$\frac{1}{2}$x•x=-x²+2x+2=-（x-1）²+3，
∴六邊形AEFCHG面積的最大值是3，
故③結(jié)論正確，
（4）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，
∵EF+GH=AC，
六邊形AEFCHG周長(zhǎng)=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2$\sqrt{2}$=4+2$\sqrt{2}$故六邊形AEFCHG周長(zhǎng)的值不變，
故④結(jié)論正確．
故選C

點(diǎn)評(píng) 此題考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是得到EF+GH=AC，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．