Question

4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動，速度為2cm/s，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為x（秒）．
（1）設(shè)△PBQ的面積為y（cm²），當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）x為何值時(shí)，△PBQ的面積最大？并求出最大值；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動時(shí)，線段PQ上是否存在一個(gè)點(diǎn)T，使得在某個(gè)時(shí)刻△ACT、△ABT、△BCT的面積均相等（無需計(jì)算，說明理由即可）．

Answer 1

分析 （1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，設(shè)AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的長；分別從當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動與當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動去分析，首先過點(diǎn)Q作AB的垂線，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得△PBQ的底與高，則可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由二次函數(shù)最值的求法得到兩種情況下的△PBQ的面積最大值，進(jìn)行比較即可得到答案；
（3）根據(jù)三角形的面積公式得到符合條件的點(diǎn)應(yīng)該是：到三邊的距離之比為12：15：20．

解答 解：（1）設(shè)AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
即：（4x）²+（3x）²=10²，
解得：x=2，
∴AC=8cm，BC=6cm；
分兩種情況：
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動時(shí)，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H．
∵AP=x，∴BP=10-x，BQ=2x，
∵△QHB∽△ACB，
∴$\frac{QH}{AC}$=$\frac{QB}{AB}$，
∴QH=$\frac{8}{5}$x，
y=$\frac{1}{2}$BP•QH=$\frac{1}{2}$（10-x）•$\frac{8}{5}$x
=-$\frac{4}{5}$x²+8x（0＜x≤3），
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動時(shí)，過點(diǎn)Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=x，
∴BP=10-x，AQ=14-2x，
∵△AQH′∽△ABC，
∴$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{QH′}{BC}$，
即：$\frac{14-2x}{10}$=$\frac{QH′}{6}$，
解得：QH′=$\frac{3}{5}$（14-2x），
∴y=$\frac{1}{2}$PB•QH′=$\frac{1}{2}$（10-x）•$\frac{3}{5}$（14-2x）
=$\frac{3}{5}$x²-$\frac{51}{5}$x+42（3＜x＜7）；

（2）①當(dāng)0＜x≤3時(shí)，y=-$\frac{4}{5}$（x-5）²+20．
∵該拋物線的開口方向向下，對稱軸是x=5，
∴當(dāng)x=3時(shí)，y取最大值，y_最大=$\frac{84}{5}$．
當(dāng)3＜x＜7時(shí)，y=$\frac{3}{5}$x²-$\frac{51}{5}$x+42=$\frac{3}{5}$（x-$\frac{17}{2}$）²+$\frac{1707}{20}$（3＜x＜7）；
∵該拋物線的開口方向向上，對稱軸是x=$\frac{17}{2}$，
∴當(dāng)x=3時(shí)，y取最大值，
但是x=3不符合題意．
綜上所述，△PBQ的面積的最大值是$\frac{84}{5}$．

（3）存在．理由如下：
設(shè)點(diǎn)T到AB、AC、BC的距離分別是a、b、c．
∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴$\frac{1}{2}$AB•a=$\frac{1}{2}$AC•c=$\frac{1}{2}$BC•c，即5a=4b=3c，
故a：b：c=12：15：20．
∴當(dāng)滿足條件的點(diǎn)T到AB、AC、BC的距離之比為12：15：20時(shí)，△ACT、△ABT、△BCT的面積均相等．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及最短距離問題．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．