Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P，Q是邊AC，BC上的兩個動點，PD⊥AB于點D，QE⊥AB于點E，設(shè)點P，Q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）若點P，Q分別從A，B兩點同時出發(fā)，沿AC，BC向點C勻速運動，運動速度都為每秒1個單位，其中一點到達終點C后，另一點也隨之停止運動，在運動過程中△APD和△QBE是否保持全等？判斷并說明理由；
（2）若點P從點C出發(fā)沿CA以每秒3個單位的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回到點C停止運動；點Q仍從點B出發(fā)沿BC以每秒1個單位的速度向點C勻速運動，到達點C后停止運動，當(dāng)t為何值時，△APD和△QBE全等？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠C=90°，PD⊥AB，QE⊥AB，于是得到∠A+∠APD=∠A+∠B=90°，證得∠APD=∠B，∠ADP=∠QEB=90°，即可得到結(jié)論；
（2）分兩種情況：①0≤t$＜\frac{8}{3}$時，點P從C到A運動，則AP=AC=CP=8-3t，BQ=t，求得t=2，②t$≥\frac{8}{3}$時，點P從A到C運動，則AP=3t-8，BQ=t，求得t=4．

解答 解：（1）△ADP≌△QBE，
理由：∵∠C=90°，PD⊥AB，QE⊥AB，
∴∠A+∠APD=∠A+∠B=90°，
∴∠APD=∠B，∠ADP=∠QEB=90°，
∵AP=BQ=t
，在△ADP與△QBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APD=∠B}\\{∠ADP=∠QEB}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△QBE；

（2）①0≤t$＜\frac{8}{3}$時，點P從C到A運動，則AP=AC=CP=8-3t，BQ=t，
當(dāng)△ADP≌△QBE時，
則AP=BQ，
即8-3t=t，解得：t=2，
②t$≥\frac{8}{3}$時，點P從A到C運動，則AP=3t-8，BQ=t，
當(dāng)△ADP≌△QBE時，
則AP=BQ，
即3t-8=t，
解得：t=4，
綜上所述：當(dāng)t=2s或4s時，△ADP≌△QBE．

點評 本題考查了全等三角形的判定，解方程，垂直的定義，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．