Question

14．八年級(jí)一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧．
【探究與發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接BE，寫(xiě)出圖中全等的兩個(gè)三角形△ACD≌△EBD
【理解與應(yīng)用】
（2）填空：如圖2，EP是△DEF的中線，若EF=5，DE=3，設(shè)EP=x，則x的取值范圍是1＜x＜4．
（3）已知：如圖3，AD是△ABC的中線，∠BAC=∠ACB，點(diǎn)Q在BC的延長(zhǎng)線上，QC=BC，求證：AQ=2AD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定即可得到結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)EP至點(diǎn)Q，使PQ=PE，連接FQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FQ=DE=3，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論；
（3）延長(zhǎng)AD到M，使MD=AD，連接BM，于是得到AM=2AD由已知條件得到BD=CD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM=CA，∠M=∠CAD，于是得到∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M，推出△ACQ≌△MBA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：在△ADC與△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ADC=∠BDE}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EDB；
故答案為：△ADC≌△EDB；

（2）解：如圖2，延長(zhǎng)EP至點(diǎn)Q，使PQ=PE，連接FQ，
在△PDE與△PQF中，
$\left\{\begin{array}{l}{PE=PQ}\\{∠EPD=∠QPF}\\{PD=PF}\end{array}\right.$，
∴△PEP≌△QFP，
∴FQ=DE=3，
在△EFQ中，EF-FQ＜QE＜EF+FQ，
即5-3＜2x＜5+3，
∴x的取值范圍是1＜x＜4；
故答案為：1＜x＜4；

（3）證明：如圖3，延長(zhǎng)AD到M，使MD=AD，連接BM，
∴AM=2AD，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
在△BMD與△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{MD=AD}\\{∠BDA=∠CDA}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BMD≌△CAD，
∴BM=CA，∠M=∠CAD，
∴∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M，
∵∠ACB=∠Q+∠CAQ，AB=BC，
∵∠ACQ=180°-（∠Q+∠CAQ），∠MBA=180°-（∠BAM+∠M），
∴∠ACQ=∠MBA，
∵QC=BC，
∴QC=AB，
在△ACQ與△MBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=CA}\\{∠ACQ=∠MBA}\\{QC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACQ≌△MBA，
∴AQ=AM=2AD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中線的定義，三角形的三邊關(guān)系，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．