Question

4．如圖，△ABC為等邊三角形，BF平分∠ABC，D是BF上的一點，連接AD，以AD為邊在AD的左側(cè)作等邊△ADE，連接EB．
（1）如圖1，當(dāng)E在BD上時，BE與ED的數(shù)量關(guān)系是BE=DE；
（2）如圖2，當(dāng)E在直線BD外時，（1）的結(jié)論是否成立，說明理由；
（3）當(dāng)BD與BA滿足什么條件時，以A，B，D，E為頂點的四邊形為菱形，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接CD，根據(jù)的吧矩形的性質(zhì)得到AB=AC=BC，AD=AE=DE，∠BAC=∠EAD=60°，推出∠BAE=∠CAD=60°-∠CAE，證得△ABE≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=CD，根據(jù)△ABD≌△CBD得到CD=AD，等量代換得到BE=ED；
（2）如圖2，連接CD，根據(jù)的吧矩形的性質(zhì)得到AB=AC=BC，AD=AE=DE，∠BAC=∠EAD=60°，推出∠BAE=∠CAD=60°-∠CAE，證得△ABE≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=CD，根據(jù)△ABD≌△CBD得到CD=AD，等量代換得到BE=ED；
（3）如圖3，當(dāng)E與C重合時，以A，B，D，E為頂點的四邊形為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=AD=BE=DE，AE垂直平分BD，解直角三角形得到BD=$\sqrt{3}$AB，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）BE=DE，
如圖1，連接CD，
∵△ABC與△ADE是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，AD=AE=DE，∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠BAE=∠CAD=60°-∠CAE，
在△ABE與△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD與△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABD=∠CBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD，
∴CD=AD，
∴BE=ED；
故答案為：BE=DE；

（2）（1）的結(jié)論成立，
理由：如圖2，連接CD，
∵△ABC與△ADE是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，AD=AE=DE，∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠BAE=∠CAD=60°-∠CAE，
在△ABE與△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD與△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABD=∠CBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD，
∴CD=AD，
∴BE=ED；

（3）如圖3，當(dāng)E與C重合時，以A，B，D，E為頂點的四邊形為菱形，
∵AB=AD=BE=DE，AE垂直平分BD，
∴BD=$\sqrt{3}$AB，
∴當(dāng)BD=$\sqrt{3}$AB，以A，B，D，E為頂點的四邊形為菱形．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．