Question

15．如圖，AC是平行四邊形ABCD的對(duì)角線．
（1）請(qǐng)按如下步驟在圖中完成作圖（保留作圖痕跡）：
①分別以A、C為圓心，以大于$\frac{1}{2}$AC長(zhǎng)為半徑畫弧，弧在AC兩側(cè)的交點(diǎn)分別為P、Q；
②連結(jié)PQ，PQ分別與AB，AC，CD交于點(diǎn)E，O，F(xiàn)；
（2）求證：四邊形AECF是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)要求畫出圖形即可；
（2）根據(jù)作圖可得PQ是AC的垂直平分線，進(jìn)而可得AO=CO，然后證明△OFC≌△OEA可得FC=AE，從而可得四邊形AECF是平行四邊形．

解答 （1）解：如圖所示；

（2）證明：根據(jù)作圖可得PQ是AC的垂直平分線，
∴AO=OC，
∵DC∥AB，
∴∠CFO=∠AEO，∠FCO=∠EAO，
在△OFC和△OEA中$\left\{\begin{array}{l}{∠CFO=∠AEO}\\{∠FCO=∠EAO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△OFC≌△OEA（AAS），
∴FC=AE，
∴四邊形AECF是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了復(fù)雜作圖，以及平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的做法．