Question

7．如圖，拋物線y=ax²+bx與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，拋物線的頂點(diǎn)為B，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為6，直線y=kx-6k經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)C在拋物線上，使得S_△ABC=10，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求出一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)（6，0），則可得到頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6），設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-3）²+6，然后把A點(diǎn)代入求出a即可得到拋物線解析式；
（2）作BD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，如圖，設(shè)C（x，-$\frac{2}{3}$x²+4x），利用S_△ABC=S_梯形BDEC+S_△ABD-S_△ACE得到x²-3x-9=10，然后解方程求出x即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，kx-6k=0，解得x=6，則A（6，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，
∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）²+6，
把A（6，0）代入得a（6-3）²+6=0，解得a=-$\frac{2}{3}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{2}{3}$（x-3）²+6，即y=-$\frac{2}{3}$x²+4x；

（2）作BD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，如圖，
設(shè)C（x，-$\frac{2}{3}$x²+4x）
∵S_△ABC=S_梯形BDEC+S_△ABD-S_△ACE=$\frac{1}{2}$（-$\frac{2}{3}$x²+4x+6）•（3-x）+$\frac{1}{2}$•6•3-$\frac{1}{2}$（-$\frac{2}{3}$x²+4x+6）•（6-x）=x²-3x-9，
∴x²-3x-9=10，解得x₁=$\frac{3+\sqrt{85}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{85}}{2}$，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為（$\frac{3+\sqrt{85}}{2}$，$\frac{-29+3\sqrt{85}}{3}$）或（$\frac{3-\sqrt{85}}{2}$，$\frac{-29+3\sqrt{85}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．