Question

3．如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．
（1）圖2中間的小正方形（即陰影部分）面積可表示為（m-n）²．
（2）觀察圖2，請(qǐng)你寫出三個(gè)代數(shù)式（m+n）²，（m-n）²，mn之間的等量關(guān)系式：（m+n）²=（m-n）²+4mn．
（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，若x+y=-6，xy=2.75，則x-y=±5．
（4）有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來(lái)表示．如圖3所示，它表示了（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²．試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示為（m+n）（m+2n）=m²+3mn+2n²．

Answer 1

分析 （1）陰影部分的邊長(zhǎng)為小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減去寬，即m-n，各角均為直角，可得；
（2）根據(jù)大正方形面積等于邊長(zhǎng)的平方或小正方形面積加4個(gè)小長(zhǎng)方形面積的兩種不同算法，可得等式；
（3）根據(jù)（2）中結(jié)論，得（x-y）²=（x+y）²-4xy，據(jù)此可得答案；
（4）畫出長(zhǎng)m+2n，寬m+n的長(zhǎng)方形即可求解．

解答 解：（1）圖②中陰影部分的邊長(zhǎng)都等于小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減去小長(zhǎng)方形的寬，即m-n，
由圖可知，陰影部分的四個(gè)角都是直角，故陰影部分是正方形，其邊長(zhǎng)為m-n，
則其面積為（m-n）²，
故答案為：（m-n）²；

（2）大正方形的面積邊長(zhǎng)的平方，即（m+n）²，或小正方形面積加4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，即4mn+（m-n）²，
故可得：（m+n）²=（m-n）²+4mn，
故答案為：（m+n）²=（m-n）²+4mn；

（3）由（2）知（x-y）²=（x+y）²-4xy=36-4×2.75=25，
∴x-y=±5，
故答案為：±5；

（4）如圖所示：

點(diǎn)評(píng) 本題考查了完全平方公式的幾何背景，屬于基礎(chǔ)題，注意仔細(xì)觀察圖形，表示出各圖形的面積是關(guān)鍵．