Question

7．已知：△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，O是AC中點，E是BC上一點，∠BCE=90°，連接BO交AD于F．
（1）如圖1，當(dāng)tan∠ACB=$\frac{1}{2}$時，試找出圖中與CE相等的線段，并證明；
（2）如圖2，若∠ACB=α，BO=m，求OE的長（用α，m表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE，由已知條件得到OC=$\frac{1}{2}$AC，由tan∠ACB=$\frac{1}{2}$，得到$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{2}$，于是得到AB=OC，推出△ABF≌△COE，即可得到結(jié)論；
（2）由（1）證得OC=$\frac{1}{2}$AC，∠C=∠BAF，∠COE=∠ABF，得到△OCE∽△ABF，證得$\frac{OC}{AB}=\frac{OE}{BF}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到tan∠ACB=tanα=$\frac{AB}{AC}$，求出$\frac{1}{2tanα}$=$\frac{OE}{BF}$，過O作AC垂線交BC于H，則OH∥AB，由△OEH∽△OFA，得到OF：OE=OA：OH，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OH=$\frac{1}{2}$AB，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，推出OF=$\frac{OE}{tanα}$，然后列方程即可求出結(jié)論．

解答 解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠C，
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE，
∵O是AC邊的中點，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC，
∵tan∠ACB=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB=$\frac{1}{2}$AC，
∴AB=OC，
在△ABF∽△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠DAB}\\{OC=AB}\\{∠COE=∠ABF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△COE，
∴AF=CE；

（2）由（1）證得OC=$\frac{1}{2}$AC，
∠C=∠BAF，∠COE=∠ABF，
∴△OCE∽△ABF，
∴$\frac{OC}{AB}=\frac{OE}{BF}$，
∵∠ACB=α，
∴tan∠ACB=tanα=$\frac{AB}{AC}$，
∴AB=AC•tanα，
∴$\frac{OC}{AB}$=$\frac{\frac{1}{2}AC}{AC•tanα}$=$\frac{1}{2tanα}$=$\frac{OE}{BF}$，
過O作AC垂線交BC于H，則OH∥AB，
由（1）得∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．
∴∠AFB=∠OEC，
∴∠AFO=∠HEO，
而∠BAF=∠C，
∴∠FAO=∠EHO，
∴△OEH∽△OFA，
∴OF：OE=OA：OH
又∵O為AC的中點，OH∥AB．
∴OH為△ABC的中位線，
∴OH=$\frac{1}{2}$AB，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，
而$\frac{AB}{AC}$=tanα，
∴OH：OA=tanα，
∴OE：OF=tanα，
∴OF=$\frac{OE}{tanα}$，
∴OF+BF=$\frac{EO}{tanα}$+OE•2tanα=m，
∴OE=$\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}$．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，根據(jù)三角形的相似，列出關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．