Question

19．已知，如圖，EQ∥BC，AD交BC于D，交EQ于N，CG交EQ于M，交AD于F，連接GD、BF交EQ于點(diǎn)P．求證：PM=MQ．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到△AEN∽△ABD，△AQN∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{QN}{CD}=\frac{AN}{AD}$，$\frac{NE}{BD}=\frac{AN}{AD}$，等量代換得到$\frac{QN}{NE}=\frac{CD}{BD}$，同理$\frac{NM}{PN}=\frac{CD}{BD}$，由等式的性質(zhì)得到$\frac{QN}{NE}=\frac{MN}{PN}$=$\frac{CD}{BD}$然后根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：∵EQ∥BC，
∴△AEN∽△ABD，△AQN∽△ACD，
∴$\frac{QN}{CD}=\frac{AN}{AD}$，$\frac{NE}{BD}=\frac{AN}{AD}$，
∴$\frac{QN}{CD}=\frac{NE}{BD}$，
∴$\frac{QN}{NE}=\frac{CD}{BD}$，
同理$\frac{NM}{PN}=\frac{CD}{BD}$，
∴$\frac{QN}{NE}=\frac{MN}{PN}$=$\frac{CD}{BD}$
同理$\frac{PM}{PE}=\frac{CD}{BD}$，
∴$\frac{NQ-NM}{EN-PN}=\frac{CD}{BD}$，
即$\frac{MQ}{PE}=\frac{CD}{BD}$，
∴$\frac{PM}{PE}=\frac{MQ}{PE}$，
∴PM=MQ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，比例的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．