Question

16．已知二次函數(shù)y=4x²+bx+$\frac{1}{16}$（b²+b）當(dāng)b取任何實(shí)數(shù)時(shí)，它的圖象是一條拋物線．
（1）現(xiàn)在有如下兩種說法：
①b取任何不同的數(shù)值時(shí)，所對應(yīng)的拋物線都有著完全相同的形狀；
②b取任何不同的數(shù)值時(shí)，所對應(yīng)的拋物線都有著不相同的形狀；你認(rèn)為哪一種說法正確，為什么？
（2）若取b=-1，b=2時(shí)對應(yīng)的拋物線的頂點(diǎn)分別為A、B，請你求出AB的解析式，并判斷：當(dāng)b取其它實(shí)數(shù)值時(shí)，所對應(yīng)的拋物線的頂點(diǎn)是否在這條直線上？說明理由．
（3）在（2）中所確定的直線上有一點(diǎn)C且點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-1，問在x軸上是否存在點(diǎn)D使△COD為等腰三角形？若存在直接寫出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，簡單說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于拋物線的形狀只與拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，顯然①的說法是正確的；
（2）將b=-1、b=2分別代入拋物線的解析式中，用配方法求出兩條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，也就得到了A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再求出二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而判斷得出答案；
（3）根據(jù)（2）題得到的直線AB的解析式，可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；由于△COD的腰和底不確定，分：①OC=OD、②OC=CD、③OD=CD三種情況討論即可．

解答 解：（1）拋物線的開口方向和形狀只與二次項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，與一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)無關(guān)，
故①的說明是正確的．

（2）當(dāng)b=-1時(shí)，y=4x²-x=4（x-$\frac{1}{8}$）²-$\frac{1}{16}$，
故A（$\frac{1}{8}$，-$\frac{1}{16}$）；
當(dāng)b=2時(shí)，y=4x²+2x+$\frac{3}{8}$=4（x+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{8}$，
故B（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$），
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，則有：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8}k+b=-\frac{1}{16}}\\{-\frac{1}{4}k+b=\frac{1}{8}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=0}\end{array}\right.$，
故直線AB的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x，
二次函數(shù)，y=4x²+bx+$\frac{1}{16}$（b²+b）=4（x+$\frac{8}$）²+$\frac{16}$，
故二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)可以表示為：（-$\frac{8}$，$\frac{16}$），它們始終在直線y=-$\frac{1}{2}$x上；

（3）當(dāng)y=-1時(shí)，-1=-$\frac{1}{2}$x，x=2，
故C（2，-1）；
可得OC=$\sqrt{5}$；
若△COD是等腰三角形，則有：
①OC=OD，則OD=$\sqrt{5}$；
∴D₁（-$\sqrt{5}$，0），D₂（$\sqrt{5}$，0）；
②OC=CD；
根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：C點(diǎn)位于OD的垂直平分線上，
故D₃（4，0）；
③OD=CD；
此時(shí)D位于OC的垂直平分線上，則∠OCD₄=∠OD₃C=∠COD₄，
則△OD₄C∽△OCD₃，得OC₂=OD₄•OD₃，
由于OC=$\sqrt{5}$，OD₃=4，
可求得OD₄=$\frac{5}{4}$，
故D₄（$\frac{5}{4}$，0）；
綜上所述，存在4個(gè)符合條件的D點(diǎn)，它們的坐標(biāo)為：D₁（-$\sqrt{5}$，0），D₂（$\sqrt{5}$，0），D₃（4，0），D₄（$\frac{5}{4}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)解析式的確定、等腰三角形的構(gòu)成情況等知識(shí)點(diǎn)；（3）題中，由于等腰三角形的腰和底不確定，一定要分類討論，以免漏解．