Question

10．如圖，P為正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，EF⊥AC且交AD于E，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接CE和AG．
（1）求證：△ADG≌△CDE；
（2）當(dāng)CE平分∠ACD時(shí)，求tan∠AGD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形證明△ADG與△CDE全等即可；
（2）設(shè)DG為k，利用三角函數(shù)的正切值解答即可．

解答 （1）證明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠ADG=180°-∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠ADG，
又∵EF⊥AC，
∴∠AEF=90°-∠CAD=45°，
∴∠DEG=∠AEF=45°，
在Rt△EDG中，∠DGE=90°-∠DEG=45°，
∴∠DGE=∠DEG，
∴ED=GD
在△ADG與△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=GD}\\{∠CDE=∠ADG}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDE（SAS）；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECG，
又∵EF⊥AC，AD⊥CD，
∴ED=EF，
∴EF=AF=DE=DG，
設(shè)DG為k，則ED=k，AE=$\sqrt{2}$k，AD=AE+ED=（$\sqrt{2}$+1）k，
tan∠AGD=$\frac{AD}{DG}=\frac{（\sqrt{2}+1）k}{k}$=$\sqrt{2}$+1

點(diǎn)評(píng) 此題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答．