Question

17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（3，0），B（0，4），將△BOA繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)得△CDA，連接OD．當(dāng)∠DOA=∠OBA時(shí)，直線CD的解析式為y=-$\frac{7}{24}$x+4．

Answer 1

分析 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形BOA與三角形CDA全等，再由已知角相等，以及公共角，得到三角形AOM與三角形AOB相似，確定出OD與AB垂直，再由OA=DA，利用三線合一得到AB為角平分線，M為OD中點(diǎn)，利用SAS得到三角形AOB與三角形ABD全等，得出AD垂直于BC，進(jìn)而確定出B，D，C三點(diǎn)共線，求出直線OD解析式，與直線AB解析式聯(lián)立求出M坐標(biāo)，確定出D坐標(biāo)，設(shè)直線CD解析式為y=mx+n，把B與D坐標(biāo)代入求出m與n的值，即可確定出解析式．

解答 解：∵△BOA繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)得△CDA，
∴△BOA≌△CDA，
∵∠DOA=∠OBA，∠OAM=∠BAO，
∴△AOM∽△ABO，
∴∠AMO=∠AOB=90°，
∴OD⊥AB，
∵AO=AD，
∴∠OAM=∠DAM，
在△AOB和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=DA}\\{∠BAO=∠BAD}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△ABD（SAS），
∴OM=DM，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴B，D，C三點(diǎn)共線，
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
把A與B坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴直線OD解析式為y=$\frac{3}{4}$x，
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+4}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{48}{25}}\\{y=\frac{36}{25}}\end{array}\right.$，即M（$\frac{48}{25}$，$\frac{36}{25}$），
∵M(jìn)為線段OD的中點(diǎn)，
∴D（$\frac{96}{25}$，$\frac{72}{25}$），
設(shè)直線CD解析式為y=mx+n，
把B與D坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{96}{25}m+n=\frac{72}{25}}\\{n=4}\end{array}\right.$，
解得：m=-$\frac{7}{24}$，n=4，
則直線CD解析式為y=-$\frac{7}{24}$x+4．
故答案為：y=-$\frac{7}{24}$x+4

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出B，D，C三點(diǎn)共線是解本題的關(guān)鍵．