Question

5．成都地鐵規(guī)劃到2020年將通車(chē)13條線路，近幾年正是成都地鐵加緊建設(shè)和密集開(kāi)通的幾年，市場(chǎng)對(duì)建材的需求量有所提高，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析可預(yù)測(cè)：投資水泥生產(chǎn)銷(xiāo)售后所獲得的利潤(rùn)y₁（萬(wàn)元）與投資資金量x（萬(wàn)元）滿(mǎn)足正比例關(guān)系y₁=20x；投資鋼材生產(chǎn)銷(xiāo)售的后所獲得的利潤(rùn)y₂（萬(wàn)元）與投資資金量x（萬(wàn)元）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點(diǎn)，AB∥x軸）．
（1）直接寫(xiě)出當(dāng)0＜x＜30及x＞30時(shí)，y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）某建材經(jīng)銷(xiāo)公司計(jì)劃投資100萬(wàn)元用于生產(chǎn)銷(xiāo)售水泥和鋼材兩種材料，若設(shè)投資鋼材部分的資金量為t（萬(wàn)元），生長(zhǎng)銷(xiāo)售完這兩種材料后獲得的總利潤(rùn)為W（萬(wàn)元）．
①求W與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
②若要求投資鋼材部分的資金量不得少于45萬(wàn)元，那么當(dāng)投資鋼材部分的資金量為多少萬(wàn)元時(shí)，獲得的總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)0＜x≤30時(shí)，根據(jù)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)設(shè)其頂點(diǎn)式，將原點(diǎn)代入可得其解析式，當(dāng)x＞30時(shí)，可得y₂=900；
（2）①設(shè)投資鋼材部分的資金量為t萬(wàn)元，則投資生產(chǎn)水泥的資金量為（100-t）萬(wàn)元，分0＜t≤30、t＞30兩種情況，根據(jù)W=y₁+y₂可得函數(shù)關(guān)系式；
②由t≥45可知W=-20t+2900，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)可得最值情況．

解答 解：（1）當(dāng)0＜x≤30時(shí)，根據(jù)題意設(shè)y₂=a（x-30）²+900，
將原點(diǎn)（0，0）代入，得：900a+900=0，解得：a=-1，
∴y₂=-（x-30）²+900=-x²+60x，
當(dāng)x＞30時(shí)，y₂=900；

（2）①設(shè)投資鋼材部分的資金量為t萬(wàn)元，則投資生產(chǎn)水泥的資金量為（100-t）萬(wàn)元，
當(dāng)0＜t≤30時(shí)，W=y₁+y₂=20（100-t）+（-t²+60t）=-t²+40t+2000，
當(dāng)t＞30時(shí)，W=20（100-t）+900=-20t+2900；
②∵t≥45，
∴W=-20t+2900，W隨t的增大而減小，
∴當(dāng)t=45時(shí)，W_最大值=2000萬(wàn)元
答：當(dāng)投資鋼材部分的資金量為45萬(wàn)元時(shí)，獲得的總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)是2000萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)投資量的不同分情況確定其函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．