Question

6．如圖，直線y=-2x+4與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于A、B兩點，與x軸交于點C，若AB=2BC，則k=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 直線y=-2x+4與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于A、B兩點，過A作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，直線y=-2x+4與x軸的交點為（2，0），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程$\frac{2-\sqrt{4-2k}}{2+\sqrt{4-2k}}$=$\frac{1}{3}$，即可得到結(jié)果．

解答 解：∵直線y=-2x+4與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于A、B兩點，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{2-\sqrt{4-2k}}{2}}\\{{y}_{1}=2+\sqrt{4-2k}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{2+\sqrt{4-2k}}{2}}\\{{y}_{1}=2-\sqrt{4-2k}}\end{array}\right.$，
過A作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，
∵直線y=-2x+4與x軸的交點為（2，0），
∴OC=2，
∵AB=2BC，
∵△BCE∽△CAD，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{2-\sqrt{4-2k}}{2+\sqrt{4-2k}}$=$\frac{1}{3}$，
∴k=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．