Question

4．拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），B（4，0）．與y軸交于點(diǎn)C．且∠ACB=90°，求這條拋物線的表達(dá)式．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的解析式可知C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），即OC=2，由于∠ACB=90度，根據(jù)射影定理OC²=OA•OB，可求出OB的長，進(jìn)而可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，也就求出了m的值，然后將A、B的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出其解析式．

解答 解：∵A（-2，0），B（4，0），
∴OA=2，OB=4，
∵∠ACB=90°，
∴OA•OB=OC²，
∴OC²=2×4=8，
∴OC=±2$\sqrt{2}$，
將A（-2，0），B（4，0），C（0，2$\sqrt{2}$代入y=ax²+bx+c，得$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{2}}{4}}\\{b=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{c=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+2$\sqrt{2}$．
將A（-2，0），B（4，0），C（0，-2$\sqrt{2}$代入y=ax²+bx+c，得$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{2}}{4}}\\{b=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{c=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-2$\sqrt{2}$．
故拋物線的表達(dá)式為y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+2$\sqrt{2}$或y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)題意求得C點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．